(1.0 Ponto) Qual a força (módulo, direção e sentido) sobre um elétron com velocidade \vec{v}=(2 \hat{\imath}-3 \hat{\jmath}) 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{s} imerso em um campo elétrico \vec{E}=(1.5 \hat{\imath}+4.5 \hat{\jmath}) \mathrm{V} / \mathrm{m} e em um campo magnético \vec{B}=(0.8 \hat{\imath}+0.6 \hat{\jmath}-0.4 \hat{k}) T ?
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá.
Pergunta: Qual a força (módulo, direção e sentido) sobre um elétron quando imerso nos campos dados?
Dados fornecidos:
velocidade do elétron: \vec{v}=(2\hat{\imath}-3\hat{\jmath})\,10^{6}\\ \mathrm{m/s}.
campo elétrico: \vec{E}=(1,5\hat{\imath}+4,5\hat{\jmath})\\ \mathrm{V/m}.
campo magnético: \vec{B}=(0,8\hat{\imath}+0,6\hat{\jmath}-0,4\hat{k})\\ \mathrm{T}.
Observação importante que vou usar sem perguntar nada: a carga do elétron éq=-1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
Passo 2
Fórmula física que vamos usar e explicação didática.
A força sobre uma carga puntiforme em campos elétrico e magnético (força de Lorentz) é dada por\vec{F}=q\bigl(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}\bigr).Explicando cada termo:
\vec{F} é a força resultante (vetor) em newtons.
q é a carga da partícula (para o elétron q é negativo).
\vec{E} é o campo elétrico (em \mathrm{V/m}); o termo q\vec{E} dá a força elétrica, que aponta no mesmo sentido de \vec{E} se q>0 e em sentido oposto se q<0.
\vec{v}\times\vec{B} é o produto vetorial velocidade–campo magnético; ele dá um vetor perpendicular a \vec{v} e \vec{B}. O termo q(\vec{v}\times\vec{B}) é a força magnética; novamente, o sinal de q inverte o sentido se q é negativo.
Estratégia: calcular separadamente q\vec{E} e q(\vec{v}\times\vec{B}), depois somar componente a componente.
Passo 3
Escrever os vetores numericamente (componentes) de forma clara.
Para facilitar os cálculos, escrevo as componentes numéricas:\vec{v}=(2,\, -3,\, 0)\times10^{6}\\ \mathrm{m/s}, \qquad \vec{E}=(1,5,\,4,5,\,0)\\ \mathrm{V/m}, \qquad \vec{B}=(0,8,\,0,6,\,-0,4)\\ \mathrm{T}.Note que as componentes em z de \vec{v} e \vec{E} são nulas como indicado.
Passo 4
Calcular o produto vetorial \vec{v}\times\vec{B} (a parte chata mas mecânica).
Lembrando a fórmula do produto vetorial por determinante:\vec{v}\times\vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k} \\\ v_x & v_y & v_z \\\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix}.
Observação didática: esses termos são da ordem de 10^{-19}\\ \mathrm{N}, muito pequenos comparados com os termos magnéticos que aparecerão (ordem 10^{-13}\\ \mathrm{N}). Isso acontece porque a velocidade é grande (10^{6}\\ \mathrm{m/s}) e a força magnética envolve v.]
Passo 6
Calcular a força magnética q(\vec{v}\times\vec{B}).
(Detalhe numérico: o cálculo dá aproximadamente 6,213\times10^{-13}\\ \mathrm{N}; aqui escrevo com três algarismos significativos: 6,21\times10^{-13}\\ \mathrm{N}.)
Ou seja, a direção é dada pelo vetor unitário com componentes negativas em x, y e z.
Sentido: como todas as componentes do vetor força são negativas, o sentido da força é voltado para os semieixos negativos x, y e z; a componente dominante é a componente em z (maior em módulo), então a força aponta principalmente no sentido negativo de z, com uma inclinação pequena negativa em x e y.
Passo 9
Resumo físico rápido (para levar pra prova): o termo magnético foi muito maior que o elétrico porque |\vec{v}| é grande; o sinal negativo (elétron) inverte o sentido das contribuições q\vec{E} e q(\vec{v}\times\vec{B}), então ambas as parcelas apontaram para direções opostas às de \vec{E} e de \vec{v}\times\vec{B} respectivamente.
Resposta
|\vec{F}|=6,21\times10^{-13}\\ \mathrm{N}
Direção (vetor unitário): \hat{u}=(-0,309,\,-0,206,\,-0,929)
Sentido: aponta para os semieixos negativos x, y e z, isto é, principalmente no sentido negativo de z.