(1.0 Ponto) Qual a força (módulo, direção e sentido) sobre um elétron com velocidade \vec{v}=(2 \hat{\imath}-3 \hat{\jmath}) 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{s} imerso em um campo elétrico \vec{E}=(1.5 \hat{\imath}+4.5 \hat{\jmath}) \mathrm{V} / \mathrm{m} e em um campo magnético \vec{B}=(0.8 \hat{\imath}+0.6 \hat{\jmath}-0.4 \hat{k}) T ?

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá.
  • Pergunta: Qual a força (módulo, direção e sentido) sobre um elétron quando imerso nos campos dados?
  • Dados fornecidos:
    • velocidade do elétron: \vec{v}=(2\hat{\imath}-3\hat{\jmath})\,10^{6}\\ \mathrm{m/s}.
    • campo elétrico: \vec{E}=(1,5\hat{\imath}+4,5\hat{\jmath})\\ \mathrm{V/m}.
    • campo magnético: \vec{B}=(0,8\hat{\imath}+0,6\hat{\jmath}-0,4\hat{k})\\ \mathrm{T}.
  • Observação importante que vou usar sem perguntar nada: a carga do elétron é q=-1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.

Passo 2

Fórmula física que vamos usar e explicação didática.
  • A força sobre uma carga puntiforme em campos elétrico e magnético (força de Lorentz) é dada por \vec{F}=q\bigl(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}\bigr).Explicando cada termo:
    • \vec{F} é a força resultante (vetor) em newtons.
    • q é a carga da partícula (para o elétron q é negativo).
    • \vec{E} é o campo elétrico (em \mathrm{V/m}); o termo q\vec{E} dá a força elétrica, que aponta no mesmo sentido de \vec{E} se q>0 e em sentido oposto se q<0.
    • \vec{v}\times\vec{B} é o produto vetorial velocidade–campo magnético; ele dá um vetor perpendicular a \vec{v} e \vec{B}. O termo q(\vec{v}\times\vec{B}) é a força magnética; novamente, o sinal de q inverte o sentido se q é negativo.
  • Estratégia: calcular separadamente q\vec{E} e q(\vec{v}\times\vec{B}), depois somar componente a componente.

Passo 3

Escrever os vetores numericamente (componentes) de forma clara.
  • Para facilitar os cálculos, escrevo as componentes numéricas: \vec{v}=(2,\, -3,\, 0)\times10^{6}\\ \mathrm{m/s}, \qquad \vec{E}=(1,5,\,4,5,\,0)\\ \mathrm{V/m}, \qquad \vec{B}=(0,8,\,0,6,\,-0,4)\\ \mathrm{T}.Note que as componentes em z de \vec{v} e \vec{E} são nulas como indicado.

Passo 4

Calcular o produto vetorial \vec{v}\times\vec{B} (a parte chata mas mecânica).
  • Lembrando a fórmula do produto vetorial por determinante: \vec{v}\times\vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k} \\\ v_x & v_y & v_z \\\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix}.
  • Substituindo v_x=2\times10^{6}, v_y=-3\times10^{6}, v_z=0 e B_x=0,8, B_y=0,6, B_z=-0,4: \begin{aligned} (\vec{v}\times\vec{B})_x &= v_y B_z - v_z B_y = (-3\times10^{6})(-0,4) - 0 = 1,2\times10^{6},\\[4pt] (\vec{v}\times\vec{B})_y &= -(v_x B_z - v_z B_x) = -\bigl(2\times10^{6}\cdot(-0,4)-0\bigr) = 0,8\times10^{6},\\[4pt] (\vec{v}\times\vec{B})_z &= v_x B_y - v_y B_x = 2\times10^{6}\cdot0,6 - (-3\times10^{6})\cdot0,8 = 1,2\times10^{6}+2,4\times10^{6}=3,6\times10^{6}. \end{aligned}
  • Portanto \vec{v}\times\vec{B}=(1,2\times10^{6},\;0,8\times10^{6},\;3,6\times10^{6}).]

Passo 5

Calcular a força elétrica q\vec{E}.
  • Multiplicando a carga do elétron pelas componentes de \vec{E}:
    \begin{aligned} (q\vec{E})_x &= qE_x = -1,602\times10^{-19}\cdot1,5 = -2,403\times10^{-19}\\ \mathrm{N},\\[4pt] (q\vec{E})_y &= qE_y = -1,602\times10^{-19}\cdot4,5 = -7,209\times10^{-19}\\ \mathrm{N},\\[4pt] (q\vec{E})_z &= 0. \end{aligned}
  • Observação didática: esses termos são da ordem de 10^{-19}\\ \mathrm{N}, muito pequenos comparados com os termos magnéticos que aparecerão (ordem 10^{-13}\\ \mathrm{N}). Isso acontece porque a velocidade é grande ( 10^{6}\\ \mathrm{m/s}) e a força magnética envolve v.]

Passo 6

Calcular a força magnética q(\vec{v}\times\vec{B}).
  • Multiplicando q pelas componentes de \vec{v}\times\vec{B}: \begin{aligned} (q\vec{v}\times\vec{B})_x &= -1,602\times10^{-19}\cdot1,2\times10^{6} = -1,9224\times10^{-13}\\ \mathrm{N},\\[4pt] (q\vec{v}\times\vec{B})_y &= -1,602\times10^{-19}\cdot0,8\times10^{6} = -1,2816\times10^{-13}\\ \mathrm{N},\\[4pt] (q\vec{v}\times\vec{B})_z &= -1,602\times10^{-19}\cdot3,6\times10^{6} = -5,7672\times10^{-13}\\ \mathrm{N}. \end{aligned}]

Passo 7

Somar componente a componente para obter a força resultante \vec{F}=q\vec{E}+q(\vec{v}\times\vec{B}).
  • Soma direta (note a diferença de ordens de grandeza; os termos elétricos são praticamente desprezíveis aqui, mas vou somar exatamente): \begin{aligned} F_x &= -1,9224\times10^{-13} + (-2,403\times10^{-19}) \approx -1,9224\times10^{-13}\\ \mathrm{N},\\[4pt] F_y &= -1,2816\times10^{-13} + (-7,209\times10^{-19}) \approx -1,2816\times10^{-13}\\ \mathrm{N},\\[4pt] F_z &= -5,7672\times10^{-13} + 0 = -5,7672\times10^{-13}\\ \mathrm{N}. \end{aligned}
  • Então o vetor força é aproximadamente \vec{F}=(-1,9224\times10^{-13},\; -1,2816\times10^{-13},\; -5,7672\times10^{-13})\\ \mathrm{N}.]

Passo 8

Calcular o módulo (norma) de \vec{F} e o vetor unitário de direção (para indicar a direção e o sentido).
  • Módulo:
    \begin{aligned} |\vec{F}| &= \sqrt{F_x^{2}+F_y^{2}+F_z^{2}} \\\ &\approx \sqrt{(1,9224\times10^{-13})^{2}+(1,2816\times10^{-13})^{2}+(5,7672\times10^{-13})^{2}} \\\ &\approx 6,21\times10^{-13}\\ \mathrm{N}. \end{aligned}
    (Detalhe numérico: o cálculo dá aproximadamente 6,213\times10^{-13}\\ \mathrm{N}; aqui escrevo com três algarismos significativos: 6,21\times10^{-13}\\ \mathrm{N}.)
  • Vetor unitário (direção):
    \hat{u}=\frac{\vec{F}}{|\vec{F}|} \approx \bigl(-0,309,\;-0,206,\;-0,929\bigr).
    Ou seja, a direção é dada pelo vetor unitário com componentes negativas em x, y e z.
  • Sentido: como todas as componentes do vetor força são negativas, o sentido da força é voltado para os semieixos negativos x, y e z; a componente dominante é a componente em z (maior em módulo), então a força aponta principalmente no sentido negativo de z, com uma inclinação pequena negativa em x e y.

Passo 9

Resumo físico rápido (para levar pra prova): o termo magnético foi muito maior que o elétrico porque |\vec{v}| é grande; o sinal negativo (elétron) inverte o sentido das contribuições q\vec{E} e q(\vec{v}\times\vec{B}), então ambas as parcelas apontaram para direções opostas às de \vec{E} e de \vec{v}\times\vec{B} respectivamente.

Resposta

|\vec{F}|=6,21\times10^{-13}\\ \mathrm{N}
Direção (vetor unitário): \hat{u}=(-0,309,\,-0,206,\,-0,929)
Sentido: aponta para os semieixos negativos x, y e z, isto é, principalmente no sentido negativo de z.

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