- O ponto de fundição de cada uma das 16 amostras de certa marca de óleo vegetal foi determinado, resultando em
. Assuma que a distribuição do ponto de fundição seja normal com
. Testar a hipótese
versus
usando um teste nível 0,01 bicaudal.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Dados fornecidos:
- Média amostral:
. - Tamanho da amostra:
. - Desvio padrão populacional conhecido:
. - Hipóteses a testar:
- Nível de significância:
.
O que o enunciado pede: realizar um teste bicaudal ao nívele decidir se rejeitamos ou não.
Passo 2
Qual teste usar e por quê (explicação didática).
- Como a distribuição do ponto de fundição é normal e o desvio padrão populacional
é conhecido, o teste apropriado é o teste-z para a média. - Ideia do teste-z: calcular a estatística padronizada que mede quantos erros-padrão a média amostral está afastada da média hipotética
. A fórmula é
Aqui:
-
é a média da amostra (aqui ). -
é o valor da média sob (aqui ). -
é o desvio padrão populacional conhecido (aqui ). -
é o tamanho da amostra (aqui ).
O teste bicaudal rejeitase , onde é o quantil da normal padrão correspondente a probabilidade .
Passo 3
Calcular o erro-padrão (desvio padrão da média) e a estatística
.
- Erro-padrão:
Expliquei: a média amostral varia em torno da média verdadeira com desvio padrão reduzido por
; por isso dividimos
por
.
- Diferença entre média observada e hipótese:
- Estatística
:
Passo 4
Determinar a região crítica do teste bicaudal ao nível
.
- Para teste bicaudal com
, cada cauda tem . O valor crítico positivo é . - O quantil
da normal padrão é aproximadamente . Assim a região de rejeição é
- Comparação:
é menor que . Portanto não cai na região crítica.
Passo 5
Cálculo do valor-p (para interpretar mais intuitivamente) e conclusão com base no valor-p.
- O valor-p para teste bicaudal é
ou mais diretamente
, onde
é a função de distribuição da normal padrão.
- Com
, usando tabela/valores da normal padrão, . Logo
- Interpretação: o
é maior que , portanto não há evidência suficiente para rejeitar ao nível de . (Observação útil: esse resultado significa que, embora a média amostral esteja abaixo de , a diferença não é estatisticamente significativa ao nível estrito de ; porém seria significativa a níveis mais frouxos como .)
Passo 6
Resumo final do procedimento e interpretação prática (um jeitinho amigo e encorajador).
- Procedemos com o teste-z porque
é conhecida e a distribuição é normal. - Calculamos
e . - Decisão ao nível
: não rejeitar . - Frase em linguagem do dia a dia: com os dados disponíveis, não há evidência estatística suficiente para afirmar que a média verdadeira do ponto de fundição difere de
ao nível de confiança associado a . Força aí — o cálculo está certo e, se precisar, dá para mostrar esse mesmo procedimento em outros exemplos.
Resposta
Não rejeitar
ao nível
. Estatística de teste
. Valor-p
.