1. O ponto de fundição de cada uma das 16 amostras de certa marca de óleo vegetal foi determinado, resultando em \bar{x}=94,32. Assuma que a distribuição do ponto de fundição seja normal com \sigma=1,20. Testar a hipótese H_{0}: \mu=95 versus H_{1}: \mu \neq 95 usando um teste nível 0,01 bicaudal.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Dados fornecidos:
  • Média amostral: \bar{x}=94{,}32.
  • Tamanho da amostra: n=16.
  • Desvio padrão populacional conhecido: \sigma=1{,}20.
  • Hipóteses a testar:
H_{0}: \mu=95
H_{1}: \mu \neq 95
  • Nível de significância: \alpha=0{,}01.
    O que o enunciado pede: realizar um teste bicaudal ao nível \alpha=0{,}01 e decidir se rejeitamos H_{0} ou não.

Passo 2

Qual teste usar e por quê (explicação didática).
  • Como a distribuição do ponto de fundição é normal e o desvio padrão populacional \sigma é conhecido, o teste apropriado é o teste-z para a média.
  • Ideia do teste-z: calcular a estatística padronizada que mede quantos erros-padrão a média amostral está afastada da média hipotética \mu_{0}. A fórmula é
z=\frac{\bar{x}-\mu_{0}}{\sigma/\sqrt{n}}.
Aqui:
  • \bar{x} é a média da amostra (aqui \bar{x}=94{,}32).
  • \mu_{0} é o valor da média sob H_{0} (aqui \mu_{0}=95).
  • \sigma é o desvio padrão populacional conhecido (aqui \sigma=1{,}20).
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=16).
    O teste bicaudal rejeita H_{0} se |z|>z_{1-\alpha/2}, onde z_{1-\alpha/2} é o quantil da normal padrão correspondente a probabilidade 1-\alpha/2.

Passo 3

Calcular o erro-padrão (desvio padrão da média) e a estatística z.
  • Erro-padrão:
\text{EP}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{1{,}20}{\sqrt{16}}=\frac{1{,}20}{4}=0{,}30.
Expliquei: a média amostral varia em torno da média verdadeira com desvio padrão reduzido por \sqrt{n}; por isso dividimos \sigma por \sqrt{n}.
  • Diferença entre média observada e hipótese:
\bar{x}-\mu_{0}=94{,}32-95=-0{,}68.
  • Estatística z:
z=\frac{-0{,}68}{0{,}30}=-2{,}2666\ldots\approx-2{,}27.

Passo 4

Determinar a região crítica do teste bicaudal ao nível \alpha=0{,}01.
  • Para teste bicaudal com \alpha=0{,}01, cada cauda tem \alpha/2=0{,}005. O valor crítico positivo é z_{1-\alpha/2}=z_{0{,}995}.
  • O quantil z_{0{,}995} da normal padrão é aproximadamente 2{,}5758. Assim a região de rejeição é
\{|z|>2{,}5758\}.
  • Comparação: |z|\approx2{,}27 é menor que 2{,}5758. Portanto não cai na região crítica.

Passo 5

Cálculo do valor-p (para interpretar mais intuitivamente) e conclusão com base no valor-p.
  • O valor-p para teste bicaudal é
\text{p-valor}=2\Pr(Z\le z) \quad\text{para }z<0,
ou mais diretamente \text{p-valor}=2\Phi(-|z|), onde \Phi é a função de distribuição da normal padrão.
  • Com |z|=2{,}2666\ldots, usando tabela/valores da normal padrão, \Phi(-2{,}2666)\approx0{,}01165. Logo
\text{p-valor}\approx2\times0{,}01165=0{,}0233.
  • Interpretação: o \text{p-valor}\approx0{,}0233 é maior que \alpha=0{,}01, portanto não há evidência suficiente para rejeitar H_{0} ao nível de 1\%. (Observação útil: esse resultado significa que, embora a média amostral esteja abaixo de 95, a diferença não é estatisticamente significativa ao nível estrito de 1\%; porém seria significativa a níveis mais frouxos como \alpha=0{,}05.)

Passo 6

Resumo final do procedimento e interpretação prática (um jeitinho amigo e encorajador).
  • Procedemos com o teste-z porque \sigma é conhecida e a distribuição é normal.
  • Calculamos z\approx-2{,}27 e \text{p-valor}\approx0{,}0233.
  • Decisão ao nível \alpha=0{,}01: não rejeitar H_{0}.
  • Frase em linguagem do dia a dia: com os dados disponíveis, não há evidência estatística suficiente para afirmar que a média verdadeira do ponto de fundição difere de 95 ao nível de confiança associado a \alpha=0{,}01. Força aí — o cálculo está certo e, se precisar, dá para mostrar esse mesmo procedimento em outros exemplos.

Resposta

Não rejeitar H_{0} ao nível \alpha=0{,}01. Estatística de teste z\approx-2{,}27. Valor-p \approx0{,}0233.

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