- Suponha que
em que
e
são desconhecidos. Uma amostra de tamanho 15 forneceu
e
. Testar a hipótese de que a variância da população é 4 . Adotar
.
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados (peguei estes números do enunciado):
- Amostra de tamanho
. -
. -
. - Nível de significância
.
O que o problema pede:
- Testar a hipótese de que a variância populacional é
. Ou seja, testar
(adotando o teste bilateral, que é o caso padrão quando se pede “testar que a variância é 4”).
Passo 2
Qual é o teste apropriado e por quê (explicação didática)?
- Quando
é normal e e são desconhecidos, para testar hipóteses sobre usamos a estatística
onde
é a variância amostral (com divisor
) e
é o valor de
sob
. Sob
, essa estatística tem distribuição qui‑quadrado com
graus de liberdade:
- Rejeitamos
ao nível num teste bilateral se
- Alternativamente pode-se calcular o p‑valor:
.
Passo 3
Calcular a média amostral
.
(Verificação:
.)
Passo 4
Calcular a soma dos quadrados das diferenças em relação à média, usando a identidade útil
Substituindo os números dados:
Calculemos
:
Logo
Passo 5
Calcular a variância amostral
(com divisor
):
Explicando didaticamente:
é a estimativa de
que corrige o viés dividindo por
em vez de
. Aqui
.
Passo 6
Calcular a estatística de teste sob
:
Portanto a estatística observada é
com
graus de liberdade.
Passo 7
Calcular o p‑valor (método exato para qui‑quadrado com
, detalhe didático).
- Para graus de liberdade pares (
) existe uma fórmula explícita para a função de distribuição acumulada:
Aqui
implica
. Tomando
define-se
. Calcula-se a soma
Fazendo os cálculos (mostrando os termos para aprendizado):
Somando:
Agora calcule
. Como
,
Multiplicando:
Logo a probabilidade acumulada (cauda inferior) é
- Como o teste é bilateral, o p‑valor é
Interpretação didática: o p‑valor é a probabilidade, sob
, de obter uma estatística tão ou mais extrema do que a observada. Aqui a probabilidade de uma estatística tão pequena quanto a observada é
; dobrando para o teste bilateral obtemos
.
Passo 8
Tomada de decisão e conclusão (explicação curta e animadora):
- Comparando com o nível
: temos . - Portanto não rejeitamos
ao nível de . - Interpretação prática: com estes dados não há evidência suficiente, ao nível de
, para concluir que a variância populacional difere de . (Se o teste fosse ao nível de , como curiosidade, aí e rejeitaríamos; mas a prova pede , então não rejeitamos.)
Resposta
Não rejeitar
: ao nível de
não há evidência de que
difira de
(p‑valor
).