1. Uma amostra de 17 observações sobre a voltagem de quebra de circuitos carregados eletricamente foram obtidos de um gráfico de probabilidade normal que apareceu no artigo “Damage of Flexible Printed Wiring Boards Associated with Lightning-Induced Voltage Surges” (IEEE Transactions on Components, Hybrids, and Manuf. Tech., 1985, p. 214-220). A disposição em reta do gráfico forneceu forte apoio à suposição de que a voltagem de quebra é aproximadamente distribuída de forma normal. Seja \sigma^{2} a variância da distribuição da voltagem de quebra e S^{2}=137.324,3 a variância amostral. Encontrar o intervalo de confiança para a \sigma^{2} com um nível de 95 \% de confiança.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado fornece e o que pede.
  • Foi obtida uma amostra com n=17 observações sobre a voltagem de quebra.
  • A variância amostral dada é S^{2}=137324{,}3.
  • A suposição (aceita) é de que a voltagem de quebra segue uma distribuição aproximadamente normal.
  • O enunciado pede: encontrar um intervalo de confiança de 95\% para a variância populacional \sigma^{2}.

Passo 2

Qual é a ferramenta matemática que usamos aqui (sem nomear tópicos formais ainda): para amostras retiradas de uma população normal existe uma relação que envolve (n-1)S^{2} e \sigma^{2} cuja distribuição é conhecida e tabelada; essa relação permite construir um intervalo de confiança para \sigma^{2}. Antes de aplicar, precisamos saber o número de graus de liberdade.
  • Os graus de liberdade usados para variância amostral são n-1.
  • Aqui n-1=17-1=16. Portanto usaremos quantis de uma distribuição com 16 graus de liberdade.

Passo 3

Apresentando a fórmula do intervalo de confiança para \sigma^{2} (passo-a-passo e explicando cada parte).
  1. Existe uma estatística X dada por
X=\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}.
Nessa estatística:
  • n é o tamanho da amostra ( n=17),
  • S^{2} é a variância amostral ( S^{2}=137324{,}3),
  • \sigma^{2} é a variância populacional que queremos estimar.
  1. Quando os dados vêm de uma população normal, X tem distribuição qui-quadrado com n-1 graus de liberdade. Isso permite escrever probabilisticamente, para um nível de confiança 1-\alpha,
P\!\left(\chi^{2}_{1-\alpha/2,\,n-1}\le \frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}\le \chi^{2}_{\alpha/2,\,n-1}\right)=1-\alpha,
onde \chi^{2}_{p,\,\nu} é o quantil de ordem p da distribuição \chi^{2} com \nu graus de liberdade.
  1. Isolando \sigma^{2} nessa desigualdade obtém-se o intervalo de confiança
\frac{(n-1)S^{2}}{\chi^{2}_{\alpha/2,\,n-1}} \le \sigma^{2} \le \frac{(n-1)S^{2}}{\chi^{2}_{1-\alpha/2,\,n-1}}.
Explicação das posições dos quantis: o quantil menor (mais à esquerda) aparece no denominador do limite superior, e o quantil maior (mais à direita) aparece no denominador do limite inferior — isso é consequência de inverter a desigualdade ao isolar \sigma^{2}.

Passo 4

Aplicando os números do problema. Primeiro fixamos \alpha=0{,}05 (pois nível de confiança 95\%), então \alpha/2=0{,}025. Já temos n-1=16 e (n-1)S^{2}:
  • Calcular (n-1)S^{2}:
(n-1)S^{2}=16\cdot137324{,}3=2\,197\,188{,}8.
(Aqui foi feita a multiplicação direta: 137324{,}3\times 16.)

Passo 5

Precisamos agora dos quantis da \chi^{2} com 16 graus de liberdade nas caudas \alpha/2 e 1-\alpha/2. Peguei esses números em tabela padrão da distribuição \chi^{2}:
  • \chi^{2}_{0{,}975,\,16}=28{,}845.
  • \chi^{2}_{0{,}025,\,16}=6{,}908.
(Obs.: os índices 0{,}975 e 0{,}025 correspondem a 1-\alpha/2 e \alpha/2, respectivamente, com \alpha/2=0{,}025.)

Passo 6

Agora calculamos os limites do intervalo usando a fórmula do Passo 3.
  • Limite inferior:
\text{LI}=\frac{(n-1)S^{2}}{\chi^{2}_{1-\alpha/2,\,n-1}} =\frac{2\,197\,188{,}8}{28{,}845}.
Fazendo a divisão:
\text{LI}\approx 76\,172{,}3.
  • Limite superior:
\text{LS}=\frac{(n-1)S^{2}}{\chi^{2}_{\alpha/2,\,n-1}} =\frac{2\,197\,188{,}8}{6{,}908}.
Fazendo a divisão:
\text{LS}\approx 318\,064{,}4.
(As divisões foram feitas mantendo precisão suficiente para arredondamento razoável; os resultados estão arredondados a uma casa decimal conforme a precisão dos dados originais.)

Passo 7

Interpretação final do intervalo (curta e motivadora): com 95\% de confiança, a verdadeira variância da voltagem de quebra \sigma^{2} está entre aproximadamente 76{,}172{,}3 e 318{,}064{,}4. Isso significa que, dado o procedimento amostral e a suposição de normalidade, se repetíssemos o experimento muitas vezes construiríamos intervalos que conteriam o valor verdadeiro de \sigma^{2} em 95\% das repetições.

Resposta

\sigma^{2}\in[76\,172{,}3;\;318\,064{,}4]

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