- Uma amostra de 17 observações sobre a voltagem de quebra de circuitos carregados eletricamente foram obtidos de um gráfico de probabilidade normal que apareceu no artigo “Damage of Flexible Printed Wiring Boards Associated with Lightning-Induced Voltage Surges” (IEEE Transactions on Components, Hybrids, and Manuf. Tech., 1985, p. 214-220). A disposição em reta do gráfico forneceu forte apoio à suposição de que a voltagem de quebra é aproximadamente distribuída de forma normal. Seja
a variância da distribuição da voltagem de quebra e
a variância amostral. Encontrar o intervalo de confiança para a
com um nível de
de confiança.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado fornece e o que pede.
- Foi obtida uma amostra com
observações sobre a voltagem de quebra. - A variância amostral dada é
. - A suposição (aceita) é de que a voltagem de quebra segue uma distribuição aproximadamente normal.
- O enunciado pede: encontrar um intervalo de confiança de
para a variância populacional .
Passo 2
Qual é a ferramenta matemática que usamos aqui (sem nomear tópicos formais ainda): para amostras retiradas de uma população normal existe uma relação que envolve
e
cuja distribuição é conhecida e tabelada; essa relação permite construir um intervalo de confiança para
. Antes de aplicar, precisamos saber o número de graus de liberdade.
- Os graus de liberdade usados para variância amostral são
. - Aqui
. Portanto usaremos quantis de uma distribuição com graus de liberdade.
Passo 3
Apresentando a fórmula do intervalo de confiança para
(passo-a-passo e explicando cada parte).
- Existe uma estatística
dada por
Nessa estatística:
-
é o tamanho da amostra ( ), -
é a variância amostral ( ), -
é a variância populacional que queremos estimar.
- Quando os dados vêm de uma população normal,
tem distribuição qui-quadrado com graus de liberdade. Isso permite escrever probabilisticamente, para um nível de confiança ,
onde
é o quantil de ordem
da distribuição
com
graus de liberdade.
- Isolando
nessa desigualdade obtém-se o intervalo de confiança
Explicação das posições dos quantis: o quantil menor (mais à esquerda) aparece no denominador do limite superior, e o quantil maior (mais à direita) aparece no denominador do limite inferior — isso é consequência de inverter a desigualdade ao isolar
.
Passo 4
Aplicando os números do problema. Primeiro fixamos
(pois nível de confiança
), então
. Já temos
e
:
- Calcular
:
(Aqui foi feita a multiplicação direta:
.)
Passo 5
Precisamos agora dos quantis da
com
graus de liberdade nas caudas
e
. Peguei esses números em tabela padrão da distribuição
:
-
. -
.
(Obs.: os índices
e
correspondem a
e
, respectivamente, com
.)
Passo 6
Agora calculamos os limites do intervalo usando a fórmula do Passo 3.
- Limite inferior:
Fazendo a divisão:
- Limite superior:
Fazendo a divisão:
(As divisões foram feitas mantendo precisão suficiente para arredondamento razoável; os resultados estão arredondados a uma casa decimal conforme a precisão dos dados originais.)
Passo 7
Interpretação final do intervalo (curta e motivadora): com
de confiança, a verdadeira variância da voltagem de quebra
está entre aproximadamente
e
. Isso significa que, dado o procedimento amostral e a suposição de normalidade, se repetíssemos o experimento muitas vezes construiríamos intervalos que conteriam o valor verdadeiro de
em
das repetições.