( 0,4 ponto por item) Um ponto material move-se sobre o eixo
de acordo com a expressão
na qual
é a posição da partícula;
é o tempo; e
e
são parâmetros constantes. Determine:
a) as dimensões dos parâmetros;
b) a posição e a velocidade iniciais;
c) se a partícula está em movimento harmônico simples;
d) a amplitude e a fase inicial do movimento;
e) a frequência e o período de oscilação.
a) as dimensões dos parâmetros;
b) a posição e a velocidade iniciais;
c) se a partícula está em movimento harmônico simples;
d) a amplitude e a fase inicial do movimento;
e) a frequência e o período de oscilação.
Passo 1
O enunciado dá a posição de uma partícula em função do tempo como
onde
tem dimensão de comprimento e
de tempo. Precisamos usar análise dimensional, derivadas para velocidade, e reconhecimento de movimento harmônico simples.
Passo 2
Para achar as dimensões de
,
e
, fazemos análise dimensional em
Como
e
são adimensionais,
e
têm a mesma dimensão de
, isto é comprimento
. Para
ser adimensional,
deve ter dimensão inversa de tempo
.
Passo 3
A posição inicial é
A velocidade é
. Calculando:
logo a velocidade inicial é
Passo 4
Para verificar se é movimento harmônico simples, derivamos a segunda vez e obtemos
Isso é a equação
, característica de movimento harmônico simples.
Passo 5
Podemos escrever
na forma única
com
portanto a amplitude é
e a fase inicial
Passo 6
O movimento tem frequência angular
. A frequência (ciclos por segundo) é
e o período de oscilação é
Resposta
a)
,
.
b) ,
.
c) Sim, pois satisfaz .
d) ,
.
e) ,
.
b)
c) Sim, pois satisfaz
d)
e)