( 0,4 ponto por item) Um ponto material move-se sobre o eixo X de acordo com a expressão
x(t)=A cos (alpha t)+B sen(alpha t),
na qual x é a posição da partícula; t é o tempo; e A, B e alpha são parâmetros constantes. Determine:
a) as dimensões dos parâmetros;
b) a posição e a velocidade iniciais;
c) se a partícula está em movimento harmônico simples;
d) a amplitude e a fase inicial do movimento;
e) a frequência e o período de oscilação.

Passo 1

O enunciado dá a posição de uma partícula em função do tempo como
x(t)=Acos(alpha t)+Bsin(alpha t),
onde x tem dimensão de comprimento e t de tempo. Precisamos usar análise dimensional, derivadas para velocidade, e reconhecimento de movimento harmônico simples.

Passo 2

Para achar as dimensões de A, B e alpha, fazemos análise dimensional em
x(t)=Acos(alpha t)+Bsin(alpha t)
Como cos(alpha t) e sin(alpha t) são adimensionais, A e B têm a mesma dimensão de x, isto é comprimento ,[L]. Para alpha t ser adimensional, alpha deve ter dimensão inversa de tempo ,[T^-1].

Passo 3

A posição inicial é
x(0)=Acos0+Bsin0=A
A velocidade é v(t)=dot x(t). Calculando:
v(t)=-A,alphasin(alpha t)+B,alphacos(alpha t),
logo a velocidade inicial é
v(0)=B,alpha

Passo 4

Para verificar se é movimento harmônico simples, derivamos a segunda vez e obtemos
ddot x(t)=-A,alpha^2cos(alpha t)-B,alpha^2sin(alpha t)=-alpha^2 x(t)
Isso é a equação ddot x+alpha^2x=0, característica de movimento harmônico simples.

Passo 5

Podemos escrever x(t) na forma única
x(t)=Rcosl(alpha t-varphir)
com
R=raizA^2+B^2, cosvarphi=AR, sinvarphi=BR,
portanto a amplitude é R=raizA^2+B^2 e a fase inicial
varphi=arctan!l(tfracBAr)

Passo 6

O movimento tem frequência angular alpha. A frequência (ciclos por segundo) é
f=alpha2pi
e o período de oscilação é
T=1f=2pialpha

Resposta

a) [A]=[B]=L, [alpha]=T^-1].
b) x(0)=A, v(0)=B,alpha.
c) Sim, pois satisfaz ddot x+alpha^2x=0.
d) R=raizA^2+B^2, varphi=arctan(B/A).
e) f=alpha/(2pi), T=2pi/alpha.

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