Seja uma barra fina inomogênea de comprimento e massa posicionada sobre um eixo, que chamaremos de , com uma das extremidades coincidindo com a origem. Nessas condições, a densidade linear da barra é dada por:
a) ponto) Confira que a expressão para é consistente calculando o valor da massa da barra.
b) (1,0 ponto) Encontre o centro de massa da barra.
c) ( 1,0 ponto) Mostre que o momento de inércia da barra quando esta gira em torno de um eixo ortogonal a ela e que passa pelo CM é
d) ( 1,0 ponto) Se a barra é suspensa por um eixo perpendicular a ela que passa pela sua metade e em seguida, é posta para oscilar, qual a frequência de pequenas oscilações?
Passo 1
O enunciado descreve uma barra não homogênea de comprimento e massa total posicionada ao longo do eixo de a , com densidade linear
Vamos usar integração para (a) checar a massa, (b) achar o centro de massa, (c) calcular o momento de inércia em relação ao CM e (d) obter a frequência de pequenas oscilações como pêndulo físico.
Passo 2
(a) Massa total pela definição
Fazendo a integral em partes:
Então
confirmando que a expressão de está consistente.
Passo 3
(b) Centro de massa
Calculando
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Passo 4
(c) Momento de inércia em torno do CM
Primeiro calculemos o momento em torno da origem:
Pela relação de Steiner,
Passo 5
(d) Frequência de pequenas oscilações
O eixo de oscilação passa por . A distância do CM ao pivô é