Seja uma barra fina inomogênea de comprimento L e massa M posicionada sobre um eixo, que chamaremos de X, com uma das extremidades coincidindo com a origem. Nessas condições, a densidade linear da barra é dada por:
lambda(x)=2 M3 L(1+xL)
a) (0,5 ponto) Confira que a expressão para lambda é consistente calculando o valor da massa da barra.
b) (1,0 ponto) Encontre o centro de massa da barra.
c) ( 1,0 ponto) Mostre que o momento de inércia da barra quando esta gira em torno de um eixo ortogonal a ela e que passa pelo CM é
ICM=39486 M L^2
d) ( 1,0 ponto) Se a barra é suspensa por um eixo perpendicular a ela que passa pela sua metade (L / 2) e em seguida, é posta para oscilar, qual a frequência de pequenas oscilações?

Passo 1

O enunciado descreve uma barra não homogênea de comprimento L e massa total M posicionada ao longo do eixo X de x=0 a x=L, com densidade linear
lambda(x) = 2M3Ll(1 + xLr)
Vamos usar integração para (a) checar a massa, (b) achar o centro de massa, (c) calcular o momento de inércia em relação ao CM e (d) obter a frequência de pequenas oscilações como pêndulo físico.

Passo 2

(a) Massa total pela definição
Mcalc = integral0^L lambda(x),dx = integral0^L 2M3Ll(1 + xLr),dx
Fazendo a integral em partes:
integral0^Ll(1 + xLr),dx = l[x + x^22Lr]0^L = L + L^22L = L + L2 = 3L2
Então
Mcalc = 2M3Lcdot 3L2 = M,
confirmando que a expressão de lambda(x) está consistente.

Passo 3

(b) Centro de massa
xrm CM = 1Mintegral0^L x,lambda(x),dx = 1Mintegral0^L x,2M3Ll(1 + xLr),dx
Calculando
integral0^Ll(x + x^2Lr),dx = l[x^22 + x^33Lr]0^L = L^22 + L^23 = 5L^26
Logo
xrm CM = 2M3Lcdot5L^26cdot1M = 1018,L = 59,L

Passo 4

(c) Momento de inércia em torno do CM
Primeiro calculemos o momento em torno da origem:
I0 = integral0^L x^2,lambda(x),dx = 2M3Lintegral0^Ll(x^2 + x^3Lr),dx
integral0^Lx^2,dx = L^33, integral0^Lx^3,dx = L^44,
I0 = 2M3Ll(L^33 + L^44Lr) = 2M3Lcdot 7L^312 = 718,M L^2
Pela relação de Steiner,
Irm CM = I0 - M,xrm CM^2 = 718M L^2 - Ml(59Lr)^2 = l(718 - 2581r)M L^2 = 13162,M L^2 = 39486,M L^2

Passo 5

(d) Frequência de pequenas oscilações
O eixo de oscilação passa por x=L/2. A distância do CM ao pivô é
d = l|xrm CM - tfracL2r| = l|59L - 12Lr| = 118L
O momento de inércia em torno do pivô é
Irm pivô = Irm CM + M,d^2 = 13162M L^2 + Ml(L18r)^2 = 13162M L^2 + 1324M L^2 = 112M L^2 ô
Para pequenas oscilações de um pêndulo físico
omega = raizM g,dIrm pivô = raizM g,(L/18)(M L^2/12) = raiz1218,gL = raiz2g3L ô
A frequência linear é
f = omega2pi = 12piraiz2g3L

Resposta

a) A massa integral dá Mrm calc=M.
b) xrm CM = tfrac59L.
c) Irm CM = tfrac39486,M L^2.
d) omega = raiztfrac2g3L, ou f = tfrac12piraiztfrac2g3L.

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