7-(0,5 ponto) Uma máquina de térmica de Carnot tem eficiência de 56% e realiza 25000 I de trabalho em cada ciclo. Quanto calor a máquina extrai de sua fonte de calor cm cada ciclo? Supondo que a máquina rejeite calor para um ambiente à temperatura de 28^{\circ} \mathrm{C}, qual é a temperatura de sua fonte de calor?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Quanto calor a máquina extrai da fonte de calor em cada ciclo.
  • Qual é a temperatura da fonte de calor, sabendo que a máquina rejeita calor para um ambiente a 28^\circ\mathrm{C}.
Informações fornecidas:
  • Eficiência da máquina: 56\%.
  • Trabalho realizado por ciclo: 25\,000\\ \mathrm{J} (interpretei o símbolo dado como joules).
  • Temperatura do ambiente (reservatório frio): 28^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Entender o que é eficiência térmica e como relacioná-la ao calor absorvido.
Definição prática de eficiência de uma máquina térmica:
\eta=\frac{W}{Q_h},
onde:
  • \eta é a eficiência (número adimensional, por exemplo 0{,}56 para 56\%),
  • W é o trabalho útil extraído por ciclo (em joules),
  • Q_h é o calor absorvido da fonte quente por ciclo (em joules).
Dessa fórmula isolamos Q_h:
Q_h=\frac{W}{\eta}.
Agora substituímos os valores (primeiro transformando a eficiência percentual em número):
\eta=56\%=0{,}56,\qquad W=25\,000\\ \mathrm{J}.
Q_h=\frac{25\,000}{0{,}56}.

Passo 3

Calcular Q_h passo a passo (sem pular etapas).
Multiplicando numerador e denominador por 100 para facilitar a divisão:
Q_h=\frac{25\,000}{0{,}56}=\frac{25\,000\times100}{0{,}56\times100}=\frac{2\,500\,000}{56}.
Agora dividindo:
\frac{2\,500\,000}{56}=44\,642{,}857142\ldots\\ \mathrm{J}.
Arredondando de forma apropriada (por exemplo, para três algarismos significativos):
Q_h\approx44\,643\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Encontrar a temperatura da fonte quente usando a eficiência de Carnot.
Para uma máquina de Carnot, a eficiência máxima depende apenas das temperaturas absolutas dos reservatórios:
\eta=1-\frac{T_c}{T_h},
onde:
  • T_c é a temperatura do reservatório frio em kelvin,
  • T_h é a temperatura do reservatório quente (fonte) em kelvin,
  • \eta é a eficiência (adimensional).
Isolando T_h:
T_h=\frac{T_c}{1-\eta}.
Observação importante: as temperaturas devem estar em kelvin ( \mathrm{K}). Vamos converter 28^\circ\mathrm{C} para kelvin:
T_c=28^\circ\mathrm{C}=28+273{,}15=301{,}15\\ \mathrm{K}.
Substituindo T_c e \eta:
T_h=\frac{301{,}15}{1-0{,}56}=\frac{301{,}15}{0{,}44}.

Passo 5

Calcular T_h passo a passo.
Fazendo a divisão:
\frac{301{,}15}{0{,}44}=684{,}88636\ldots\\ \mathrm{K}.
Arredondando (por exemplo, três algarismos significativos):
T_h\approx684{,}9\\ \mathrm{K}.
Se preferir a resposta em graus Celsius, converte-se:
T_h(^\circ\mathrm{C})=T_h(\mathrm{K})-273{,}15\approx684{,}88636-273{,}15=411{,}73636\ldots^\circ\mathrm{C},
portanto
T_h\approx411{,}7^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Interpretação breve e conferência de unidades (checagem que sempre ajuda na prova):
  • Q_h tem unidade de energia: joules. Faz sentido dividir trabalho (joules) pela eficiência adimensional.
  • T_h saiu em kelvin e foi convertida para Celsius apenas para interpretação; a fórmula de Carnot exige kelvin.

Resposta

Q_h \approx 44\,643\\ \mathrm{J} por ciclo.
T_h \approx 684{,}9\\ \mathrm{K} \approx 411{,}7^\circ\mathrm{C}.

Exercícios relacionados