Considere um cilindro metálico de paredes finas, raio
e densidade linear de cargas
. Obtenha uma expressão para o campo elétrico deste sistema, a uma distância
do seu eixo, nos seguintes casos:
Passo 1
O enunciado dá um cilindro metálico de paredes finas, de raio
, com densidade linear de carga
. Pede-se: obter uma expressão para o campo elétrico do sistema a uma distância
do eixo, no caso
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O cilindro é metálico (condutor) e tem paredes finas.
- O raio do cilindro é
. - A carga é dada por densidade linear
(carga por unidade de comprimento ao longo do eixo). - Queremos o campo elétrico no interior do cilindro, isto é, para distâncias
do eixo tais que .
Passo 2
Escolha do procedimento (explicação curta e intuitiva): devido à simetria cilíndrica do problema e por ser um condutor em equilíbrio eletrostático, a maneira mais direta e elegante é usar a Lei de Gauss. Vou justificar e ensinar essa ferramenta no passo seguinte e aplicá-la a uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial com o cilindro real.
Passo 3
Ensinando a Lei de Gauss (fórmula e significado das grandezas). A Lei de Gauss em eletrostática diz:
onde:
-
é o campo elétrico, -
é o elemento vetorial de área da superfície fechada (módulo igual à área infinitesimal e direção do vetor normal para fora), -
é a carga total contida dentro da superfície fechada , -
é a permissividade elétrica do vácuo (constante, aproximadamente ).
A ideia prática: escolher uma superfície fechada que respeite a simetria do problema para que
seja simples (por exemplo, constante sobre partes da superfície) e o cálculo do fluxo seja direto.
Passo 4
Análise da simetria e escolha da superfície gaussiana. Pelo enunciado:
- O sistema é infinito (ou muito longo) e tem simetria cilíndrica ao redor do eixo. Portanto o campo elétrico só pode depender de
(a distância radial ao eixo) e deve apontar na direção radial (ou seja, ). - Escolhe-se como superfície gaussiana um cilindro coaxial de raio
(com ) e comprimento . Essa superfície tem três partes: a superfície lateral curva e duas tampas circulares. Como é radial, sobre as tampas (normais paralelas ao eixo) tem , logo nas tampas. Assim somente a superfície lateral contribui para o fluxo.
Área lateral do cilindro gaussiano:
. Como por simetria
é constante sobre essa lateral, o fluxo total é
Passo 5
Calcular a carga interna
para
. A carga total por comprimento
do cilindro real é
, mas sendo o cilindro metálico (condutor) de paredes finas, toda a carga elétrica em equilíbrio eletrostático repousa na superfície externa do condutor (isto é, localizada em
). Logo, uma superfície gaussiana com raio
não envolve nenhuma carga:
Aplicando a Lei de Gauss:
Como
para
e
, segue que
Passo 6
Interpretação física e comentários didáticos. O resultado
no interior (
) expressa o famoso efeito de blindagem Eletrostática de um condutor: dentro de um condutor em equilíbrio não há campo elétrico. Para um cilindro metálico fino carregado, toda a carga fica na superfície externa e o campo no interior do cilindro oco é nulo. Isso vale para qualquer
tal que
. Se fosse pedido
, usar-se-ia a mesma Lei de Gauss mas com
, dando um campo
radial (apenas para referência, não é o caso pedido).
Fica o incentivo: esse tipo de uso da Lei de Gauss é padrão em provas — reconheça a simetria, escolha a superfície gaussiana apropriada e verifique a carga encerrada.