Considere um cilindro metálico de paredes finas, raio R e densidade linear de cargas \lambda. Obtenha uma expressão para o campo elétrico deste sistema, a uma distância r do seu eixo, nos seguintes casos:
r<R

Passo 1

O enunciado dá um cilindro metálico de paredes finas, de raio R, com densidade linear de carga \lambda. Pede-se: obter uma expressão para o campo elétrico do sistema a uma distância r do eixo, no caso
r<R.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O cilindro é metálico (condutor) e tem paredes finas.
  • O raio do cilindro é R.
  • A carga é dada por densidade linear \lambda (carga por unidade de comprimento ao longo do eixo).
  • Queremos o campo elétrico no interior do cilindro, isto é, para distâncias r do eixo tais que r<R.

Passo 2

Escolha do procedimento (explicação curta e intuitiva): devido à simetria cilíndrica do problema e por ser um condutor em equilíbrio eletrostático, a maneira mais direta e elegante é usar a Lei de Gauss. Vou justificar e ensinar essa ferramenta no passo seguinte e aplicá-la a uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial com o cilindro real.

Passo 3

Ensinando a Lei de Gauss (fórmula e significado das grandezas). A Lei de Gauss em eletrostática diz:
\oint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},
onde:
  • \vec{E} é o campo elétrico,
  • d\vec{A} é o elemento vetorial de área da superfície fechada S (módulo igual à área infinitesimal e direção do vetor normal para fora),
  • Q_{\text{int}} é a carga total contida dentro da superfície fechada S,
  • \varepsilon_0 é a permissividade elétrica do vácuo (constante, aproximadamente 8{,}85\times10^{-12}\,\mathrm{C^2/(N\cdot m^2)}).
A ideia prática: escolher uma superfície fechada que respeite a simetria do problema para que \vec{E} seja simples (por exemplo, constante sobre partes da superfície) e o cálculo do fluxo seja direto.

Passo 4

Análise da simetria e escolha da superfície gaussiana. Pelo enunciado:
  • O sistema é infinito (ou muito longo) e tem simetria cilíndrica ao redor do eixo. Portanto o campo elétrico só pode depender de r (a distância radial ao eixo) e deve apontar na direção radial (ou seja, \vec{E}(r)=E(r)\,\hat{r}).
  • Escolhe-se como superfície gaussiana um cilindro coaxial de raio r (com r<R) e comprimento L. Essa superfície tem três partes: a superfície lateral curva e duas tampas circulares. Como \vec{E} é radial, sobre as tampas (normais paralelas ao eixo) tem \vec{E}\perp d\vec{A}, logo \vec{E}\cdot d\vec{A}=0 nas tampas. Assim somente a superfície lateral contribui para o fluxo.
Área lateral do cilindro gaussiano: A_{\text{lat}}=2\pi r L. Como por simetria E(r) é constante sobre essa lateral, o fluxo total é
\oint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{A}=E(r)\cdot 2\pi r L.

Passo 5

Calcular a carga interna Q_{\text{int}} para r<R. A carga total por comprimento L do cilindro real é \lambda L, mas sendo o cilindro metálico (condutor) de paredes finas, toda a carga elétrica em equilíbrio eletrostático repousa na superfície externa do condutor (isto é, localizada em r=R). Logo, uma superfície gaussiana com raio r<R não envolve nenhuma carga:
Q_{\text{int}}=0.
Aplicando a Lei de Gauss:
E(r)\cdot 2\pi r L = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0} = 0.
Como 2\pi r L\neq 0 para r>0 e L>0, segue que
E(r)=0.

Passo 6

Interpretação física e comentários didáticos. O resultado \vec{E}=\vec{0} no interior ( r<R) expressa o famoso efeito de blindagem Eletrostática de um condutor: dentro de um condutor em equilíbrio não há campo elétrico. Para um cilindro metálico fino carregado, toda a carga fica na superfície externa e o campo no interior do cilindro oco é nulo. Isso vale para qualquer r tal que 0\le r<R. Se fosse pedido r>R, usar-se-ia a mesma Lei de Gauss mas com Q_{\text{int}}=\lambda L, dando um campo E(r)=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r} radial (apenas para referência, não é o caso pedido).
Fica o incentivo: esse tipo de uso da Lei de Gauss é padrão em provas — reconheça a simetria, escolha a superfície gaussiana apropriada e verifique a carga encerrada.

Resposta

\displaystyle \vec{E}(r)=\vec{0}\quad\text{para }0\le r<R

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