Um ponto material descreve um movimento cuja trajetória é descreve por uma elipse de equação :
. Considere
e
constantes.
Determine o módulo da aceleração da partícula.
Determine o módulo da aceleração da partícula.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um ponto que se move seguindo uma trajetória elíptica, descrita pela equação
. Nosso objetivo aqui é descobrir o módulo da aceleração dessa partícula. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial e cinemática, especificamente derivadas de funções vetoriais para achar velocidade e aceleração.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, se tivermos
, a velocidade
será a primeira derivada de
, e a aceleração
será a derivada de
.
Passo 3
Vamos começar diferenciando a posição para achar a velocidade. A posição é dada por:
A derivada de
em relação ao tempo é
, e a derivada de
é
.
Passo 4
Aplicando isso, a velocidade
fica:
Passo 5
Agora, vamos diferenciar a velocidade para encontrar a aceleração. Lembrando novamente as derivadas:
- A derivada de
é - A derivada de
é
Passo 6
Assim, a aceleração
será:
Passo 7
Para achar o módulo da aceleração, usamos a fórmula da norma de um vetor:
Simplificando dentro da raiz:
Fatorando
:
Passo 8
Finalmente, temos o módulo da aceleração da partícula:
Resposta
O módulo da aceleração da partícula é .