Um ponto material descreve um movimento cuja trajetória é descreve por uma elipse de equação : r(t)=A cdot cos (p t) imath+B cdot sen(p t) jmath. Considere A, B e p constantes.
Determine o módulo da aceleração da partícula.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um ponto que se move seguindo uma trajetória elíptica, descrita pela equação r(t) = A cdot cos(pt) imath + B cdot sen(pt) jmath. Nosso objetivo aqui é descobrir o módulo da aceleração dessa partícula. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial e cinemática, especificamente derivadas de funções vetoriais para achar velocidade e aceleração.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, se tivermos r(t), a velocidade v(t) será a primeira derivada de r(t), e a aceleração a(t) será a derivada de v(t).

Passo 3

Vamos começar diferenciando a posição para achar a velocidade. A posição é dada por:
r(t) = A cdot cos(pt) imath + B cdot sen(pt) jmath
A derivada de cos(pt) em relação ao tempo é -p cdot sen(pt), e a derivada de sen(pt) é p cdot cos(pt).

Passo 4

Aplicando isso, a velocidade v(t) fica:
v(t) = dr(t)dt = -A p cdot sen(pt) imath + B p cdot cos(pt) jmath

Passo 5

Agora, vamos diferenciar a velocidade para encontrar a aceleração. Lembrando novamente as derivadas:
  • A derivada de - sen(pt) é -p cdot cos(pt)
  • A derivada de cos(pt) é -p cdot sen(pt)

Passo 6

Assim, a aceleração a(t) será:
a(t) = dv(t)dt = -A p^2 cdot cos(pt) imath - B p^2 cdot sen(pt) jmath

Passo 7

Para achar o módulo da aceleração, usamos a fórmula da norma de um vetor:
Simplificando dentro da raiz:
Fatorando |a(t)| = raiz(-A p^2 cos(pt))^2 + (-B p^2 sen(pt))^2 :

Passo 8

Finalmente, temos o módulo da aceleração da partícula:

Resposta

O módulo da aceleração da partícula é .

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