Um ponto material descreve um movimento cuja trajetória é descreve por uma elipse de equação :
. Considere
e
constantes.
Mostre que o vetor aceleração é sempre oposto ao vetor posição.
Mostre que o vetor aceleração é sempre oposto ao vetor posição.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a aceleração de um ponto que se move numa trajetória elíptica é sempre oposta ao vetor posição. Estamos trabalhando com a trajetória dada por:
Aqui,
,
e
são constantes. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas para encontrar a aceleração a partir da posição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja:
Mas antes de chegar na aceleração, precisamos achar a velocidade, que é a primeira derivada da posição.
Passo 3
Vamos calcular a velocidade
derivando
em relação ao tempo:
Derivando cada componente:
Passo 4
Agora, vamos derivar a velocidade para encontrar a aceleração:
Derivando cada componente:
Passo 5
Observando a expressão da aceleração:
Perceba que o termo dentro dos colchetes é exatamente o vetor posição
. Portanto, podemos escrever:
Resposta
A aceleração é sempre oposta ao vetor posição, conforme mostrado por: