Um ponto material descreve um movimento cuja trajetória é descreve por uma elipse de equação : r(t)=A cdot cos (p t) imath+B cdot sen(p t) jmath. Considere A, B e p constantes.
Mostre que o vetor aceleração é sempre oposto ao vetor posição.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a aceleração de um ponto que se move numa trajetória elíptica é sempre oposta ao vetor posição. Estamos trabalhando com a trajetória dada por:
r(t) = A cdot cos(pt) imath + B cdot sin(pt) jmath
Aqui, , e são constantes. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas para encontrar a aceleração a partir da posição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja:
a(t) = d^2 r(t)dt^2
Mas antes de chegar na aceleração, precisamos achar a velocidade, que é a primeira derivada da posição.

Passo 3

Vamos calcular a velocidade v(t) = dr(t)dt = ddt[ A cdot cos(pt) imath + B cdot sin(pt) jmath ] derivando v(t) = -A p cdot sin(pt) imath + B p cdot cos(pt) jmath em relação ao tempo:
Derivando cada componente:

Passo 4

Agora, vamos derivar a velocidade para encontrar a aceleração:
a(t) = dv(t)dt = ddt[ -A p cdot sin(pt) imath + B p cdot cos(pt) jmath ]
Derivando cada componente:
a(t) = -A p^2 cdot cos(pt) imath - B p^2 cdot sin(pt) jmath

Passo 5

Observando a expressão da aceleração:
a(t) = -p^2 [ A cos(pt) imath + B sin(pt) jmath ]
Perceba que o termo dentro dos colchetes é exatamente o vetor posição a(t) = -p^2 r(t) . Portanto, podemos escrever:

Resposta

A aceleração é sempre oposta ao vetor posição, conforme mostrado por:
a(t) = -p^2 r(t)

Exercícios relacionados