Um ponto material descreve um movimento cuja trajetória é descreve por uma elipse de equação : r(t)=A cdot cos (p t) imath+B cdot sen(p t) jmath. Considere A, B e p constantes.
Determine o módulo da velocidade da partícula.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um ponto material que se move ao longo de uma trajetória elíptica, descrita pela equação vetorial:
r(t) = A cdot cos(pt) , imath + B cdot sin(pt) , jmath
Aqui, A, B e p são constantes. Nosso objetivo é determinar o módulo da velocidade dessa partícula.

Passo 2

Para encontrar a velocidade da partícula, precisamos calcular a derivada da posição em relação ao tempo. A velocidade é dada por:
v(t) = dr(t)dt
Isso significa que vamos derivar cada componente de r(t) em relação ao tempo t.

Passo 3

Vamos derivar cada componente separadamente:
  1. Componente em imath:
    ddt [A cdot cos(pt)] = -A p cdot sin(pt)
  2. Componente em jmath:
    ddt [B cdot sin(pt)] = B p cdot cos(pt)
Portanto, a velocidade v(t) fica:
v(t) = -A p cdot sin(pt) , imath + B p cdot cos(pt) , jmath

Passo 4

Agora, queremos o módulo da velocidade, ou seja, o valor absoluto dessa velocidade. Para isso, usamos a fórmula do módulo de um vetor:
|v(t)| = raiz(vx)^2 + (vy)^2
Onde vx e vy são as componentes da velocidade nos eixos imath e jmath, respectivamente.

Passo 5

Substituindo as componentes que encontramos:
|v(t)| = raiz(-A p cdot sin(pt))^2 + (B p cdot cos(pt))^2
Simplificando os termos ao quadrado:
|v(t)| = raizA^2 p^2 cdot sin^2(pt) + B^2 p^2 cdot cos^2(pt)

Passo 6

Podemos fatorar p^2 para simplificar a expressão:
|v(t)| = p cdot raizA^2 sin^2(pt) + B^2 cos^2(pt)

Resposta

O módulo da velocidade da partícula é dado por:
|v(t)| = p cdot raizA^2 sin^2(pt) + B^2 cos^2(pt)

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