Um ponto material descreve um movimento cuja trajetória é descreve por uma elipse de equação :
. Considere
e
constantes.
Determine o módulo da velocidade da partícula.
Determine o módulo da velocidade da partícula.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um ponto material que se move ao longo de uma trajetória elíptica, descrita pela equação vetorial:
Aqui,
,
e
são constantes. Nosso objetivo é determinar o módulo da velocidade dessa partícula.
Passo 2
Para encontrar a velocidade da partícula, precisamos calcular a derivada da posição em relação ao tempo. A velocidade é dada por:
Isso significa que vamos derivar cada componente de
em relação ao tempo
.
Passo 3
Vamos derivar cada componente separadamente:
-
Componente em
: -
Componente em
:
Portanto, a velocidade
fica:
Passo 4
Agora, queremos o módulo da velocidade, ou seja, o valor absoluto dessa velocidade. Para isso, usamos a fórmula do módulo de um vetor:
Onde
e
são as componentes da velocidade nos eixos
e
, respectivamente.
Passo 5
Substituindo as componentes que encontramos:
Simplificando os termos ao quadrado:
Passo 6
Podemos fatorar
para simplificar a expressão:
Resposta
O módulo da velocidade da partícula é dado por: