Um ponto material desloca-se ao longo da trajetória elítica parametrizada por
Mostre que a aceleração desse movimento é central e que seu módulo é proporcional à distância da origem ao ponto móvel.
Passo 1
O enunciado dá a trajetória elíptica do ponto material e pede duas coisas:
- Mostrar que a aceleração é central (ou seja, que aponta para a origem e é colinear com o vetor posição).
- Mostrar que o módulo da aceleração é proporcional à distância do ponto à origem (isto é,
é uma constante vezes ).
Informações fornecidas:
onde
,
e
são constantes.
Passo 2
Vou calcular a velocidade
. Para isso uso a regra da cadeia: a derivada de
é
e a derivada de
é
. Aplicando componente a componente:
(Verificação rápida: cada termo tem um fator
vindo da derivada do argumento
.)
Passo 3
Agora calculo a aceleração
. Novamente uso a regra da cadeia nas componentes de
:
Derivando cada termo:
Portanto
Simplificando o segundo sinal:
Passo 4
Compare
com o vetor posição
. Multiplicando
por
obtemos:
Esse resultado é exatamente
encontrado no passo anterior. Logo temos a relação vetor a vetor:
Isso prova que a aceleração é central: ela é colinear com o vetor posição
e está dirigida para a origem (o fator escalar é negativo, o que indica direção para
).
Passo 5
Para mostrar que o módulo de
é proporcional à distância ao centro, calculo os módulos. Primeiro o módulo do vetor posição:
Usando
obtemos para o módulo da aceleração:
Portanto o módulo de
é proporcional ao módulo de
, com constante de proporcionalidade
.
Passo 6
Resumo interpretativo (tipo “dica de prova”): a igualdade vetorial
é a chave. Ela mostra que a aceleração aponta sempre para a origem (central) e que é linearmente proporcional à posição (como numa mola ideal linearizada: força/resta proporcional a
). Em provas, basta calcular
e
e comparar com
.