Um ponto material desloca-se ao longo da trajetória elítica parametrizada por
\vec{r}=\vec{r}(t)=(a \cos \omega t) \vec{\imath}-(b \operatorname{sen} \omega t) \vec{\jmath}, t \in \mathbb{R}
Mostre que a aceleração desse movimento é central e que seu módulo é proporcional à distância da origem ao ponto móvel.

Passo 1

O enunciado dá a trajetória elíptica do ponto material e pede duas coisas:
  • Mostrar que a aceleração é central (ou seja, que aponta para a origem e é colinear com o vetor posição).
  • Mostrar que o módulo da aceleração é proporcional à distância do ponto à origem (isto é, |\vec{a}(t)| é uma constante vezes |\vec{r}(t)|).
Informações fornecidas:
\vec{r}(t) = \bigl(a\cos\omega t\bigr)\,\vec{\imath} - \bigl(b\operatorname{sen}\omega t\bigr)\,\vec{\jmath},\qquad t\in\mathbb{R},
onde a, b e \omega são constantes.

Passo 2

Vou calcular a velocidade \vec{v}(t)=\dfrac{d\vec{r}}{dt}. Para isso uso a regra da cadeia: a derivada de \cos\omega t é -\omega\operatorname{sen}\omega t e a derivada de \operatorname{sen}\omega t é \omega\cos\omega t. Aplicando componente a componente:
\vec{v}(t)=\frac{d}{dt}\bigl(a\cos\omega t\bigr)\,\vec{\imath}-\frac{d}{dt}\bigl(b\operatorname{sen}\omega t\bigr)\,\vec{\jmath}
\vec{v}(t) = \bigl(-a\omega\operatorname{sen}\omega t\bigr)\,\vec{\imath} - \bigl(b\omega\cos\omega t\bigr)\,\vec{\jmath}.
(Verificação rápida: cada termo tem um fator \omega vindo da derivada do argumento \omega t.)

Passo 3

Agora calculo a aceleração \vec{a}(t)=\dfrac{d\vec{v}}{dt}. Novamente uso a regra da cadeia nas componentes de \vec{v}(t):
\vec{a}(t)=\frac{d}{dt}\bigl(-a\omega\operatorname{sen}\omega t\bigr)\,\vec{\imath}-\frac{d}{dt}\bigl(b\omega\cos\omega t\bigr)\,\vec{\jmath}.
Derivando cada termo:
\frac{d}{dt}\bigl(-a\omega\operatorname{sen}\omega t\bigr) = -a\omega\cdot(\omega\cos\omega t) = -a\omega^{2}\cos\omega t,
\frac{d}{dt}\bigl(b\omega\cos\omega t\bigr) = b\omega\cdot(-\omega\operatorname{sen}\omega t) = -b\omega^{2}\operatorname{sen}\omega t.
Portanto
\vec{a}(t)=\bigl(-a\omega^{2}\cos\omega t\bigr)\,\vec{\imath} - \bigl(-b\omega^{2}\operatorname{sen}\omega t\bigr)\,\vec{\jmath}.
Simplificando o segundo sinal:
\vec{a}(t)=\bigl(-a\omega^{2}\cos\omega t\bigr)\,\vec{\imath} + \bigl(b\omega^{2}\operatorname{sen}\omega t\bigr)\,\vec{\jmath}.

Passo 4

Compare \vec{a}(t) com o vetor posição \vec{r}(t). Multiplicando \vec{r}(t) por -\omega^{2} obtemos:
-\omega^{2}\,\vec{r}(t) = -\omega^{2}\bigl(a\cos\omega t\bigr)\,\vec{\imath} -\omega^{2}\bigl(-b\operatorname{sen}\omega t\bigr)\,\vec{\jmath}
-\omega^{2}\,\vec{r}(t) = \bigl(-a\omega^{2}\cos\omega t\bigr)\,\vec{\imath} + \bigl(b\omega^{2}\operatorname{sen}\omega t\bigr)\,\vec{\jmath}.
Esse resultado é exatamente \vec{a}(t) encontrado no passo anterior. Logo temos a relação vetor a vetor:
\vec{a}(t) = -\omega^{2}\,\vec{r}(t).
Isso prova que a aceleração é central: ela é colinear com o vetor posição \vec{r}(t) e está dirigida para a origem (o fator escalar é negativo, o que indica direção para \vec{0}).

Passo 5

Para mostrar que o módulo de \vec{a}(t) é proporcional à distância ao centro, calculo os módulos. Primeiro o módulo do vetor posição:
\lVert \vec{r}(t)\rVert = \sqrt{\bigl(a\cos\omega t\bigr)^{2} + \bigl(-b\operatorname{sen}\omega t\bigr)^{2}} = \sqrt{a^{2}\cos^{2}\omega t + b^{2}\operatorname{sen}^{2}\omega t}.
Usando \vec{a}(t)=-\omega^{2}\vec{r}(t) obtemos para o módulo da aceleração:
\lVert \vec{a}(t)\rVert = \lVert -\omega^{2}\vec{r}(t)\rVert = \omega^{2}\,\lVert \vec{r}(t)\rVert.
Portanto o módulo de \vec{a}(t) é proporcional ao módulo de \vec{r}(t), com constante de proporcionalidade \omega^{2}.

Passo 6

Resumo interpretativo (tipo “dica de prova”): a igualdade vetorial \vec{a}=-\omega^{2}\vec{r} é a chave. Ela mostra que a aceleração aponta sempre para a origem (central) e que é linearmente proporcional à posição (como numa mola ideal linearizada: força/resta proporcional a -\vec{r}). Em provas, basta calcular \dfrac{d\vec{r}}{dt} e \dfrac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2}} e comparar com \vec{r}.

Resposta

\vec{a}(t)=-\omega^{2}\,\vec{r}(t)\newline
\lVert \vec{a}(t)\rVert = \omega^{2}\,\lVert \vec{r}(t)\rVert

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