A posição de um ponto móvel do plano é dada por \alpha(t)=(t, a \cos \omega t), t \geq 0, onde a e \omega=2 \pi / T são constantes positivas. Encontre, no ponto \alpha(T / 2), as componentes tangencial e normal da aceleração.
Passo 1
O enunciado dá a posição do ponto móvel no plano por \alpha(t)=(t,\;a\cos\omega t) para t\ge0, com a>0 e \omega=2\pi/T>0. O pedido é: encontrar, no ponto \alpha(T/2), as componentes tangencial e normal da aceleração.
Informações úteis extraídas do enunciado:
A curva parametrizada é \alpha(t)=(t,\;a\cos\omega t).
As constantes são a>0 e \omega=2\pi/T.
O instante onde queremos as componentes é t=T/2.
O que será entregue: a componente tangencial (escalar) da aceleração e a componente normal (escalar ou magnitude), e quando conveniente também as formas vetoriais.
Passo 2
Primeiro vamos calcular derivadas necessárias (velocidade e aceleração). Derivar componente a componente:
Explicando: derivada de t em relação a t é 1. Para a\cos(\omega t), uso regra da cadeia: derivada é -a\sin(\omega t)\cdot\omega = -a\omega\sin\omega t. Outra vez, derivando -a\omega\sin\omega t dá -a\omega\cos(\omega t)\cdot\omega = -a\omega^2\cos\omega t.
Passo 3
Vamos agora avaliar as quantidades no instante t=T/2. Primeiro calculemos o argumento trigonométrico:
Interpretação simples: no instante pedido a velocidade está totalmente na direção positiva do eixo x e a aceleração está totalmente na direção positiva do eixo y.
Passo 5
Agora recordamos a decomposição da aceleração em componente tangencial e normal. Para uma curva paramétrica:
o versor tangente unitário é T=\dfrac{\alpha'}{\|\alpha'\|};
a componente tangencial escalar da aceleração é a_T=\langle\alpha'',T\rangle (produto escalar);
a componente normal vetorial é \alpha''-a_T T e sua magnitude é a_N=\|\alpha''-a_T T\|.
Outra fórmula útil (às vezes usada) é a_T=\dfrac{d}{dt}\|\alpha'\|, pois a variação da rapidez é a projeção da aceleração na direção tangente.
Passo 6
Calculemos a rapidez em t=T/2 e o versor tangente nesse instante. A rapidez é
Também pode-se ver isso por a_T=\dfrac{d}{dt}\|\alpha'(t)\| avaliado em t=T/2; como \|\alpha'\|(T/2)=1 e localmente \sin tem derivada zero lá, obtém-se zero.
Passo 8
A componente normal (magnitude) é a parte da aceleração perpendicular a T. Como a_T=0, toda a aceleração em t=T/2 é normal. Portanto o vetor componente normal é simplesmente \alpha''(T/2) e sua magnitude é
O versor normal unitário (apontando para a direção da aceleração) é
N(T/2)=\frac{(0,a\omega^2)}{a\omega^2}=(0,1).
Assim a componente normal vetorial é (0,a\omega^2).
Passo 9
Resumo intuitivo (um empurrãozinho motivador): no instante t=T/2 o móvel está indo horizontalmente para a direita com rapidez 1, então não há aumento nem diminuição da rapidez (componente tangencial nula). Mas a aceleração está apontando para cima, curva a trajetória, e essa é exatamente a componente normal, de magnitude a\omega^2. Relaxa: essa é uma situação típica de movimento onde velocidade é horizontal e aceleração é perpendicular — só curva, não acelera em módulo.
Resposta
Componente tangencial: 0
Componente normal (magnitude): a\omega^2