A posição de um ponto móvel do plano é dada por \alpha(t)=(t, a \cos \omega t), t \geq 0, onde a e \omega=2 \pi / T são constantes positivas. Encontre, no ponto \alpha(T / 2), as componentes tangencial e normal da aceleração.

Passo 1

O enunciado dá a posição do ponto móvel no plano por \alpha(t)=(t,\;a\cos\omega t) para t\ge0, com a>0 e \omega=2\pi/T>0. O pedido é: encontrar, no ponto \alpha(T/2), as componentes tangencial e normal da aceleração.
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • A curva parametrizada é \alpha(t)=(t,\;a\cos\omega t).
  • As constantes são a>0 e \omega=2\pi/T.
  • O instante onde queremos as componentes é t=T/2.
    O que será entregue: a componente tangencial (escalar) da aceleração e a componente normal (escalar ou magnitude), e quando conveniente também as formas vetoriais.

Passo 2

Primeiro vamos calcular derivadas necessárias (velocidade e aceleração). Derivar componente a componente:
\alpha(t)=(t,\;a\cos\omega t).
A velocidade é a derivada primeira:
\alpha'(t)=\bigl(1,\; -a\omega\sin\omega t\bigr).
A aceleração é a derivada segunda:
\alpha''(t)=\bigl(0,\; -a\omega^2\cos\omega t\bigr).
Explicando: derivada de t em relação a t é 1. Para a\cos(\omega t), uso regra da cadeia: derivada é -a\sin(\omega t)\cdot\omega = -a\omega\sin\omega t. Outra vez, derivando -a\omega\sin\omega t -a\omega\cos(\omega t)\cdot\omega = -a\omega^2\cos\omega t.

Passo 3

Vamos agora avaliar as quantidades no instante t=T/2. Primeiro calculemos o argumento trigonométrico:
\omega\cdot\frac{T}{2}=\frac{2\pi}{T}\cdot\frac{T}{2}=\pi.
Então sabemos os valores trigonométricos:
\sin(\pi)=0,\qquad \cos(\pi)=-1.

Passo 4

Avaliar velocidade e aceleração em t=T/2 usando os resultados anteriores:
\alpha'\bigl(T/2\bigr)=\bigl(1,\; -a\omega\sin\pi\bigr)=(1,\;0).
\alpha''\bigl(T/2\bigr)=\bigl(0,\; -a\omega^2\cos\pi\bigr)=\bigl(0,\; -a\omega^2\cdot(-1)\bigr)=(0,\;a\omega^2).
Interpretação simples: no instante pedido a velocidade está totalmente na direção positiva do eixo x e a aceleração está totalmente na direção positiva do eixo y.

Passo 5

Agora recordamos a decomposição da aceleração em componente tangencial e normal. Para uma curva paramétrica:
  • o versor tangente unitário é T=\dfrac{\alpha'}{\|\alpha'\|};
  • a componente tangencial escalar da aceleração é a_T=\langle\alpha'',T\rangle (produto escalar);
  • a componente normal vetorial é \alpha''-a_T T e sua magnitude é a_N=\|\alpha''-a_T T\|.
    Outra fórmula útil (às vezes usada) é a_T=\dfrac{d}{dt}\|\alpha'\|, pois a variação da rapidez é a projeção da aceleração na direção tangente.

Passo 6

Calculemos a rapidez em t=T/2 e o versor tangente nesse instante. A rapidez é
\|\alpha'(t)\|=\sqrt{1+\bigl(-a\omega\sin\omega t\bigr)^2}=\sqrt{1+a^2\omega^2\sin^2\omega t}.
Em t=T/2 temos \sin\pi=0, logo
\|\alpha'(T/2)\|= \sqrt{1+0}=1.
O versor tangente é então
T\bigl(T/2\bigr)=\frac{\alpha'(T/2)}{\|\alpha'(T/2)\|}=\frac{(1,0)}{1}=(1,0).

Passo 7

Agora a componente tangencial da aceleração em t=T/2 é o produto escalar entre \alpha''(T/2) e T(T/2):
a_T=\bigl\langle \alpha''(T/2),\,T(T/2)\bigr\rangle=\langle(0,a\omega^2),(1,0)\rangle=0\cdot1 + a\omega^2\cdot0=0.
Também pode-se ver isso por a_T=\dfrac{d}{dt}\|\alpha'(t)\| avaliado em t=T/2; como \|\alpha'\|(T/2)=1 e localmente \sin tem derivada zero lá, obtém-se zero.

Passo 8

A componente normal (magnitude) é a parte da aceleração perpendicular a T. Como a_T=0, toda a aceleração em t=T/2 é normal. Portanto o vetor componente normal é simplesmente \alpha''(T/2) e sua magnitude é
a_N=\bigl\|\alpha''(T/2)-a_T T(T/2)\bigr\|=\|\alpha''(T/2)\|=\|(0,a\omega^2)\|=a\omega^2.
O versor normal unitário (apontando para a direção da aceleração) é
N(T/2)=\frac{(0,a\omega^2)}{a\omega^2}=(0,1).
Assim a componente normal vetorial é (0,a\omega^2).

Passo 9

Resumo intuitivo (um empurrãozinho motivador): no instante t=T/2 o móvel está indo horizontalmente para a direita com rapidez 1, então não há aumento nem diminuição da rapidez (componente tangencial nula). Mas a aceleração está apontando para cima, curva a trajetória, e essa é exatamente a componente normal, de magnitude a\omega^2. Relaxa: essa é uma situação típica de movimento onde velocidade é horizontal e aceleração é perpendicular — só curva, não acelera em módulo.

Resposta

Componente tangencial: 0
Componente normal (magnitude): a\omega^2

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