Seja
.
(a) Mostre que o traço de
está contido no cilindro
;
(b) Obtenha o triedro de Frenet, a curvatura e a torção de
;
(c) Conclua que
é uma curva plana e determine o plano que a contém;
(d) Segue-se de (a) e (c) que
é uma elipse. Ache o centro, os semi-eixos e os focos de
;
(e) Em que pontos de
a curvatura é máxima? mínima?
(a) Mostre que o traço de
(b) Obtenha o triedro de Frenet, a curvatura e a torção de
(c) Conclua que
(d) Segue-se de (a) e (c) que
(e) Em que pontos de
Passo 1
O enunciado dá a curva
e pede, em partes:
(a) provar que o traço de está contido no cilindro
;
(b) obter o triedro de Frenet , a curvatura
e a torção
de
;
(c) concluir que é curva plana e determinar o plano que a contém;
(d) a partir de (a) e (c) concluir que é uma elipse e achar o centro, os semi-eixos e os focos;
(e) determinar em que pontos de a curvatura é máxima e mínima.
(a) provar que o traço de
(b) obter o triedro de Frenet
(c) concluir que
(d) a partir de (a) e (c) concluir que
(e) determinar em que pontos de
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A componente
. - A componente
. - A componente
.
A resolução começa agora.
Passo 2
(a) Mostrar que o traço está no cilindro
.
Explicação curta do que usar: a identidade trigonométrica básica é
para todo
.
Aplicando isso às duas primeiras componentes de
:
Portanto cada ponto
satisfaz
, logo o traço de
está contido no cilindro dado.
Passo 3
Preparar cálculo das derivadas (necessárias para Frenet). Vamos calcular
de modo explícito e passo a passo.
Derivando componente a componente:
Derivando de novo:
E a terceira derivada:
Observação didática: para construir o triedro de Frenet precisamos de
e
; para a torção usamos também
. Todas as derivadas foram obtidas aplicando regras básicas de derivação a funções trigonométricas.
Passo 4
Calcular a velocidade (norma de
) e o vetor tangente unitário
.
Norma de
:
Então o vetor tangente unitário é
Breve explicação conceitual:
aponta na direção da velocidade e tem norma
. Para curvas parametrizadas arbitrariamente usa-se
.
Passo 5
Calcular a curvatura
. Fórmula prática (para parâmetro qualquer) é
Primeiro calculemos o produto vetorial
. Usando as expressões de
e
:
Computando o produto vetorial (fazendo coordenada a coordenada):
Verificação rápida (passo a passo):
- componente
: ; - componente
: ; - componente
: .
Perceba algo bonito:
é constante igual a
, independendo de
.
Norma desse vetor:
Portanto
Interpretação didática: a curvatura mede “quanto a curva está dobrando” e é dada por essa razão envolvendo o produto vetorial das primeiras duas derivadas (que mede a área elementar gerada por
e
).
Passo 6
Encontrar o binormal
e a normal principal
.
O binormal é definido (para parâmetro qualquer) por
Como
e essa norma é
, obtemos
Note que
é constante (não depende de
). Isso já sugere algo sobre a planaridade da curva (quando
é constante, a curva é plana).
A normal principal
pode ser obtida por
(ou alternativamente por normalizar
). Calculando
:
Usando
e
obtemos, depois de álgebra:
Verificação de norma: pode-se conferir que
. Assim o triedro de Frenet é
Comentário amigável:
aponta tangencialmente,
aponta para dentro da curvatura, e
é perpendicular ao plano formado por
e
.
Passo 7
Calcular a torção
. Fórmula prática (para parâmetro qualquer) é
Temos
,
. O produto escalar é
Portanto o numerador é
e assim
Interpretação: torção zero significa que a curva é plana (todas as suas curvaturas binormais estão alinhadas, o binormal é constante).
Passo 8
(c) Concluir que
é curva plana e determinar o plano.
Como
para todo
, a curva é plana. Outra verificação mais direta: notar que para todos os
temos
Logo todos os pontos
satisfazem a equação linear
que é a equação de um plano. Portanto o plano que contém a curva é
Comentário prático: o vetor normal a esse plano é
, que coincide (até escala) com o binormal
encontrado, como esperado.
Passo 9
(d) Mostrar que a interseção do cilindro
com o plano
é uma elipse; achar centro e semi-eixos.
Pela parte (a) a curva está no cilindro. Pela parte (c) ela está no plano
. A interseção de um cilindro circular com um plano que não é paralelo ao eixo do cilindro geralmente é uma elipse (caso não seja reta ou círculo especial). Vamos identificar centro e semi-eixos explicitamente.
Centro: o cilindro é simétrico em torno do eixo
(o eixo
). O ponto do eixo
que está no plano
é
. Esse é o centro da elipse. Então
Para achar os semi-eixos, projetamos as variações em uma base ortonormal do plano. Observe que
Escolhemos a base ortonormal do plano:
Escrevendo
na base
:
Logo, nas coordenadas do plano a curva é parametrizada por
Isto é a parametrização padrão de uma elipse centrada na origem do plano com semi-eixos
ao longo de
e
ao longo de
. Assim os semi-eixos são:
Explicação simplificada: no plano escolhido a curva é a imagem do círculo unitário esticado por um fator
na direção
.
Passo 10
(d) Determinar os focos.
Para uma elipse com semi-eixos
(maior) e
(menor) usamos
para a distância focal. Assim
Os focos estão ao longo do eixo maior (
) a distância
do centro. Como
, os focos são
Ou explicitamente:
Recapitulando (d): a curva é a elipse centrada em
, com semi-eixos
e
nas direções
e
, e focos dados acima.
Passo 11
(e) Determinar onde
é máxima e mínima.
Lembrando a fórmula encontrada na Passo 5:
Para encontrar extremos variamos em
. Observe que
depende de
. Como
, a função
varia entre
e
. Como
é proporcional a
,
é máxima quando
é mínima e mínima quando
é máxima.
- Mínimo de
ocorre quando , ou seja . Isso dá . Então
Os pontos correspondentes na curva são, por exemplo,
e mais geralmente
.
- Máximo de
ocorre quando , ou seja , dando . Então
Os pontos correspondentes são
e, em geral,
.
Intuição geométrica: os pontos onde a elipse é mais “curvada” estão nos vértices do eixo menor (aqui
projetados), e menos curvada nos vértices do eixo maior (aqui
projetados).
Resposta
(a) O traço está contido no cilindro
.
(b) Triedro de Frenet:
(b) Triedro de Frenet:
onde explicitamente
;
Curvatura:
Torção:
(c)
é curva plana; o plano que a contém é
.
(d) é uma elipse com centro
; semi-eixos
(na direção
) e
(na direção
); focos
(d)
(e)
é máxima (
) em
(ex.:
,
), e mínima (
) em
(ex.:
,
).