Seja \alpha(t)=(\cos t, \operatorname{sen} t, 1-\operatorname{sen} t), t \in \mathbb{R}.
(a) Mostre que o traço de \alpha está contido no cilindro x^{2}+y^{2}=1;
(b) Obtenha o triedro de Frenet, a curvatura e a torção de \alpha;
(c) Conclua que \alpha é uma curva plana e determine o plano que a contém;
(d) Segue-se de (a) e (c) que \alpha é uma elipse. Ache o centro, os semi-eixos e os focos de \alpha;
(e) Em que pontos de \alpha a curvatura é máxima? mínima?

Passo 1

O enunciado dá a curva
\alpha(t)=(\cos t,\;\operatorname{sen}t,\;1-\operatorname{sen}t),\qquad t\in\mathbb{R},
e pede, em partes:
(a) provar que o traço de \alpha está contido no cilindro x^{2}+y^{2}=1;
(b) obter o triedro de Frenet (T,N,B), a curvatura \kappa e a torção \tau de \alpha;
(c) concluir que \alpha é curva plana e determinar o plano que a contém;
(d) a partir de (a) e (c) concluir que \alpha é uma elipse e achar o centro, os semi-eixos e os focos;
(e) determinar em que pontos de \alpha a curvatura é máxima e mínima.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A componente x(t)=\cos t.
  • A componente y(t)=\operatorname{sen}t.
  • A componente z(t)=1-\operatorname{sen}t.
A resolução começa agora.

Passo 2

(a) Mostrar que o traço está no cilindro x^{2}+y^{2}=1.
Explicação curta do que usar: a identidade trigonométrica básica é \cos^{2}t+\operatorname{sen}^{2}t=1 para todo t.
Aplicando isso às duas primeiras componentes de \alpha(t):
x(t)^{2}+y(t)^{2}=\cos^{2}t+\operatorname{sen}^{2}t=1.
Portanto cada ponto \alpha(t) satisfaz x^{2}+y^{2}=1, logo o traço de \alpha está contido no cilindro dado.

Passo 3

Preparar cálculo das derivadas (necessárias para Frenet). Vamos calcular \alpha'(t),\alpha''(t),\alpha'''(t) de modo explícito e passo a passo.
Derivando componente a componente:
\alpha'(t)=(-\sin t,\;\cos t,\;-\cos t).
Derivando de novo:
\alpha''(t)=(-\cos t,\;-\sin t,\;\sin t).
E a terceira derivada:
\alpha'''(t)=(\sin t,\;-\cos t,\;\cos t).
Observação didática: para construir o triedro de Frenet precisamos de \alpha' e \alpha''; para a torção usamos também \alpha'''. Todas as derivadas foram obtidas aplicando regras básicas de derivação a funções trigonométricas.

Passo 4

Calcular a velocidade (norma de \alpha') e o vetor tangente unitário T.
Norma de \alpha':
\lVert\alpha'(t)\rVert=\sqrt{(-\sin t)^{2}+(\cos t)^{2}+(-\cos t)^{2}}=\sqrt{\sin^{2}t+\cos^{2}t+\cos^{2}t}=\sqrt{1+\cos^{2}t}.
Então o vetor tangente unitário é
T(t)=\frac{\alpha'(t)}{\lVert\alpha'(t)\rVert }=\frac{1}{\sqrt{1+\cos^{2}t}}\;(-\sin t,\;\cos t,\;-\cos t).
Breve explicação conceitual: T(t) aponta na direção da velocidade e tem norma 1. Para curvas parametrizadas arbitrariamente usa-se \alpha'/\lVert\alpha'\rVert.

Passo 5

Calcular a curvatura \kappa. Fórmula prática (para parâmetro qualquer) é
\kappa(t)=\frac{\lVert\alpha'(t)\times\alpha''(t)\rVert}{\lVert\alpha'(t)\rVert^{3}}.
Primeiro calculemos o produto vetorial \alpha'\times\alpha''. Usando as expressões de \alpha' e \alpha'':
\alpha'(t)=(-\sin t,\;\cos t,\;-\cos t), \alpha''(t)=(-\cos t,\;-\sin t,\;\sin t).
Computando o produto vetorial (fazendo coordenada a coordenada):
\alpha'(t)\times\alpha''(t)=(0,\;1,\;1).
Verificação rápida (passo a passo):
  • componente x: \cos t\cdot\sin t - (-\cos t)\cdot(-\sin t)=\cos t\sin t-\cos t\sin t=0;
  • componente y: (- \cos t)(- \cos t)-(-\sin t)\sin t=\cos^{2}t+\sin^{2}t=1;
  • componente z: (- \sin t)(- \sin t)-\cos t(-\cos t)=\sin^{2}t+\cos^{2}t=1.
Perceba algo bonito: \alpha'\times\alpha'' é constante igual a (0,1,1), independendo de t.
Norma desse vetor:
\lVert\alpha'\times\alpha''\rVert=\sqrt{0^{2}+1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.
Portanto
\kappa(t)=\frac{\sqrt{2}}{\bigl(\sqrt{1+\cos^{2}t}\bigr)^{3}}=\frac{\sqrt{2}}{(1+\cos^{2}t)^{3/2}}.
Interpretação didática: a curvatura mede “quanto a curva está dobrando” e é dada por essa razão envolvendo o produto vetorial das primeiras duas derivadas (que mede a área elementar gerada por \alpha' e \alpha'').

Passo 6

Encontrar o binormal B e a normal principal N.
O binormal é definido (para parâmetro qualquer) por
B(t)=\frac{\alpha'(t)\times\alpha''(t)}{\lVert\alpha'(t)\times\alpha''(t)\rVert}.
Como \alpha'\times\alpha''=(0,1,1) e essa norma é \sqrt{2}, obtemos
B(t)=\frac{1}{\sqrt{2}}\,(0,1,1).
Note que B(t) é constante (não depende de t). Isso já sugere algo sobre a planaridade da curva (quando B é constante, a curva é plana).
A normal principal N pode ser obtida por N=B\times T (ou alternativamente por normalizar T'). Calculando N=B\times T:
Usando T(t)=\dfrac{1}{\sqrt{1+\cos^{2}t}}(-\sin t,\cos t,-\cos t) e B=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(0,1,1) obtemos, depois de álgebra:
N(t)=\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{1+\cos^{2}t}}\;(-2\cos t,\;-\sin t,\;\sin t).
Verificação de norma: pode-se conferir que \lVert N(t)\rVert=1. Assim o triedro de Frenet é
T(t)=\frac{\alpha'(t)}{\sqrt{1+\cos^{2}t}},\qquad N(t)=\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{1+\cos^{2}t}}(-2\cos t,-\sin t,\sin t),\qquad B(t)=\frac{1}{\sqrt{2}}(0,1,1).
Comentário amigável: T aponta tangencialmente, N aponta para dentro da curvatura, e B é perpendicular ao plano formado por T e N.

Passo 7

Calcular a torção \tau. Fórmula prática (para parâmetro qualquer) é
\tau(t)=\frac{(\alpha'(t)\times\alpha''(t))\cdot\alpha'''(t)}{\lVert\alpha'(t)\times\alpha''(t)\rVert^{2}}.
Temos \alpha'(t)\times\alpha''(t)=(0,1,1), \alpha'''(t)=(\sin t,-\cos t,\cos t). O produto escalar é
(0,1,1)\cdot(\sin t,-\cos t,\cos t)=0\cdot\sin t+1\cdot(-\cos t)+1\cdot\cos t=0.
Portanto o numerador é 0 e assim
\tau(t)=0\quad\text{para todo }t.
Interpretação: torção zero significa que a curva é plana (todas as suas curvaturas binormais estão alinhadas, o binormal é constante).

Passo 8

(c) Concluir que \alpha é curva plana e determinar o plano.
Como \tau(t)=0 para todo t, a curva é plana. Outra verificação mais direta: notar que para todos os t temos
y(t)+z(t)=\operatorname{sen}t+(1-\operatorname{sen}t)=1.
Logo todos os pontos \alpha(t) satisfazem a equação linear
y+z=1,
que é a equação de um plano. Portanto o plano que contém a curva é
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid y+z=1\}.
Comentário prático: o vetor normal a esse plano é n=(0,1,1), que coincide (até escala) com o binormal B encontrado, como esperado.

Passo 9

(d) Mostrar que a interseção do cilindro x^{2}+y^{2}=1 com o plano y+z=1 é uma elipse; achar centro e semi-eixos.
Pela parte (a) a curva está no cilindro. Pela parte (c) ela está no plano y+z=1. A interseção de um cilindro circular com um plano que não é paralelo ao eixo do cilindro geralmente é uma elipse (caso não seja reta ou círculo especial). Vamos identificar centro e semi-eixos explicitamente.
Centro: o cilindro é simétrico em torno do eixo x=0,y=0 (o eixo z). O ponto do eixo x=0,y=0 que está no plano y+z=1 é (0,0,1). Esse é o centro da elipse. Então
\text{centro }C=(0,0,1).
Para achar os semi-eixos, projetamos as variações em uma base ortonormal do plano. Observe que
\alpha(t)-C=(\cos t,\;\operatorname{sen}t,\;-\operatorname{sen}t)=\cos t\,(1,0,0)+\operatorname{sen}t\,(0,1,-1).
Escolhemos a base ortonormal do plano:
e_{1}=(1,0,0)\quad(\text{já unitário e no plano}),\qquad e_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}(0,1,-1).áá
Escrevendo \alpha(t)-C na base (e_{1},e_{2}):
\alpha(t)-C=\cos t\;e_{1}+(\sqrt{2}\operatorname{sen}t)\;e_{2}.
Logo, nas coordenadas do plano a curva é parametrizada por
(X(t),Y(t))=(\cos t,\;\sqrt{2}\operatorname{sen}t).
Isto é a parametrização padrão de uma elipse centrada na origem do plano com semi-eixos a=1 ao longo de e_{1} e b=\sqrt{2} ao longo de e_{2}. Assim os semi-eixos são:
\text{semi-eixo menor }=1,\qquad \text{semi-eixo maior }=\sqrt{2}.
Explicação simplificada: no plano escolhido a curva é a imagem do círculo unitário esticado por um fator \sqrt{2} na direção e_{2}.

Passo 10

(d) Determinar os focos.
Para uma elipse com semi-eixos a=\sqrt{2} (maior) e b=1 (menor) usamos c=\sqrt{a^{2}-b^{2}} para a distância focal. Assim
c=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}-1^{2}}=\sqrt{2-1}=1.
Os focos estão ao longo do eixo maior ( e_{2}) a distância c do centro. Como e_{2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(0,1,-1), os focos são
F_{\pm}=C\pm c\,e_{2}= (0,0,1)\pm 1\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}(0,1,-1).
Ou explicitamente:
F_{+}=\left(0,\;\frac{1}{\sqrt{2}},\;1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right),\qquad F_{-}=\left(0,\;-\frac{1}{\sqrt{2}},\;1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
Recapitulando (d): a curva é a elipse centrada em C=(0,0,1), com semi-eixos 1 e \sqrt{2} nas direções e_{1}=(1,0,0) e e_{2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(0,1,-1), e focos dados acima.

Passo 11

(e) Determinar onde \kappa(t) é máxima e mínima.
Lembrando a fórmula encontrada na Passo 5:
\kappa(t)=\frac{\sqrt{2}}{(1+\cos^{2}t)^{3/2}}.
Para encontrar extremos variamos em t. Observe que \kappa depende de \cos^{2}t. Como 0\le\cos^{2}t\le1, a função 1+\cos^{2}t varia entre 1 e 2. Como \kappa é proporcional a (1+\cos^{2}t)^{-3/2}, \kappa é máxima quando 1+\cos^{2}t é mínima e mínima quando 1+\cos^{2}t é máxima.
  • Mínimo de 1+\cos^{2}t ocorre quando \cos^{2}t=0, ou seja \cos t=0. Isso dá t=\dfrac{\pi}{2}+k\pi. Então
\kappa_{\max}=\kappa\!\left(\tfrac{\pi}{2}+k\pi\right)=\frac{\sqrt{2}}{1^{3/2}}=\sqrt{2}.
Os pontos correspondentes na curva são, por exemplo,
\alpha\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=(0,1,0),\qquad \alpha\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=(0,-1,2),
e mais geralmente \alpha\!\left(\tfrac{\pi}{2}+k\pi\right).
  • Máximo de 1+\cos^{2}t ocorre quando \cos^{2}t=1, ou seja \cos t=\pm1, dando t=k\pi. Então
\kappa_{\min}=\kappa(k\pi)=\frac{\sqrt{2}}{(2)^{3/2}}=\frac{1}{2}.
Os pontos correspondentes são
\alpha(0)=(1,0,1),\qquad \alpha(\pi)=(-1,0,1),
e, em geral, \alpha(k\pi).
Intuição geométrica: os pontos onde a elipse é mais “curvada” estão nos vértices do eixo menor (aqui y=\pm1 projetados), e menos curvada nos vértices do eixo maior (aqui x=\pm1 projetados).

Resposta

(a) O traço está contido no cilindro x^{2}+y^{2}=1.
(b) Triedro de Frenet:
T(t)=\frac{1}{\sqrt{1+\cos^{2}t}}(-\sin t,\;\operatorname{sen}'\!,\;-\cos t),
onde explicitamente T(t)=\dfrac{1}{\sqrt{1+\cos^{2}t}}(-\sin t,\;\cos t,\;-\cos t);
N(t)=\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{1+\cos^{2}t}}(-2\cos t,\;-\sin t,\;\sin t); \qquad B(t)=\frac{1}{\sqrt{2}}(0,1,1).
Curvatura:
\kappa(t)=\frac{\sqrt{2}}{(1+\cos^{2}t)^{3/2}}.
Torção:
\tau(t)=0.
(c) \alpha é curva plana; o plano que a contém é y+z=1.
(d) \alpha é uma elipse com centro C=(0,0,1); semi-eixos 1 (na direção e_{1}=(1,0,0)) e \sqrt{2} (na direção e_{2}=\tfrac{1}{\sqrt{2}}(0,1,-1)); focos
F_{\pm}=\left(0,\;\pm\frac{1}{\sqrt{2}},\;1\mp\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
(e) \kappa é máxima ( \kappa_{\max}=\sqrt{2}) em t=\dfrac{\pi}{2}+k\pi (ex.: (0,1,0), (0,-1,2)), e mínima ( \kappa_{\min}=\tfrac{1}{2}) em t=k\pi (ex.: (1,0,1), (-1,0,1)).

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