Um ponto material está se deslocando ao longo de uma reta tal que sua velocidade na origem é de 4 m / s. Se o ponto começa a desacelerar a uma taxa a=(-1,5 v^1 / 2) m / s^2, onde v é dado em m / s, determine a distância que ele percorre até parar.

Passo 1

O enunciado descreve um movimento unidimensional em que a velocidade inicial na origem é ,v(0)=4,m/s e a aceleração depende de v segundo
a = dvdt = -1,5,v^1/2(m/s^2)
Queremos a distância total S percorrida até v chegar a zero. Para isso vamos usar a relação
a = v,dvds,
que permite passar da variável tempo para a variável espaço.

Passo 2

Substituindo a na relação a = v,dvds, temos
v,dvds = -1,5,v^1/2
Isolando ,ds,
ds = v,dv-1,5,v^1/2 = -11,5,v^1/2,dv = -23,v^1/2,dv

Passo 3

Agora integramos ds desde o ponto inicial até o ponto final, e v de 4 a 0:
S = integrals=0^s=S ds = -23integralv=4^v=0 v^1/2,dv = 23integralv=0^v=4 v^1/2,dv

Passo 4

Calculando a integral:
integral0^4 v^1/2,dv = [23,v^3/2]0^4 = 23cdot 4^3/2 = 23cdot 8 = 163
Logo
S = 23times 163 = 329,

Resposta

A distância percorrida até parar é
boxed329,mapprox3,56,m

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