(1 ponto) Uma matriz
quadrada de ordem
é ortogonal se
. Se
são matrizes ortogonais, mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, dado
matrizes ortogonais de ordem
(ou seja, satisfazendo
para
), vale
Usaremos as propriedades de transposição de produto e o fato de que, em matrizes ortogonais,
.
Passo 2
Calculemos as transposições que aparecem:
Passo 3
Substituindo em
vem
Passo 4
Agrupando sob a associatividade:
Como
e
são ortogonais, reconhecemos
portanto
Passo 5
Finalmente, usando a propriedade de transposta de produto,
logo