(1 ponto) Uma matriz X quadrada de ordem n é ortogonal se X X^{t}=I_{n}. Se A, B, C são matrizes ortogonais, mostre que
(A B)^{t} \cdot\left(A B^{t}\right) \cdot\left(A B^{t}\right)^{t} \cdot\left(A C^{t}\right)=(C B)^{t}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, dado A,B,C matrizes ortogonais de ordem n (ou seja, satisfazendo
X\,X^t=I_n \quad\Longrightarrow\quad X^tX=I_n
para X=A,B,C), vale
(AB)^t\,(A B^t)\,(A B^t)^t\,(A C^t)=(CB)^t.
Usaremos as propriedades de transposição de produto e o fato de que, em matrizes ortogonais, X^{-1}=X^t.

Passo 2

Calculemos as transposições que aparecem:
(AB)^t = B^t A^t \quad\text{e}\quad (A B^t)^t = (B^t)^t\,A^t = B\,A^t.

Passo 3

Substituindo em
(AB)^t\,(A B^t)\,(A B^t)^t\,(A C^t)
vem
(B^t A^t)\,(A B^t)\,(B A^t)\,(A C^t).

Passo 4

Agrupando sob a associatividade:
(B^t A^t)\,(A B^t)\,(B A^t)\,(A C^t) = B^t\,A^t\,A\,B^t\,B\,A^t\,A\,C^t.
Como A e B são ortogonais, reconhecemos
A^tA=I_n, \quad B^tB=I_n,
portanto
B^t\,A^t\,A\,B^t\,B\,A^t\,A\,C^t = B^t\,(I_n)\,(I_n)\,(I_n)\,C^t = B^t\,C^t.

Passo 5

Finalmente, usando a propriedade de transposta de produto,
B^t\,C^t = (C\,B)^t,
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(AB)^t\,(A B^t)\,(A B^t)^t\,(A C^t)=(C B)^t.

Resposta

(CB)^t.

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