Num espaço vetorial
com produto interno, provar que:
(a)
e
são LI.
(a)
Passo 1
O enunciado considera um espaço vetorial
com produto interno
e vetores
e
tais que
. Ele pede para mostrar que
e
são linearmente independentes. Vamos usar a definição de independência linear: o conjunto
é LI se, da igualdade
seguirem-se
e
como única solução.
Passo 2
Suponha que existam escalares
tais que
Fazendo o produto interno dessa igualdade com
obtemos
Como
, segue
. Analogamente, tomando o produto interno com
,
implica
. Logo, a única combinação linear que gera o vetor zero é trivial.
Resposta
Os vetores
e
são linearmente independentes.