Considere, no \mathbb{R}^{3}, o produto interno usual.
a) Determine um vetor u \in \mathbb{R}^{3} ortogonal aos vetores v_{1}=(1,1,2), v_{2}=(5,1,3) e v_{3}=(2,-2,-3).
b) Seja A=\{(1,-1,-2)\}. encontre uma base ortogonal B de \mathbb{R}^{3} que contenha A .
c) Determine os vetores ( a, b, c ) para que o conjunto B=\{(1,-3,2),(2,2,2),(a, b, c)\} seja uma base ortogonal do \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado trabalha com o produto interno usual em \mathbb{R}^3 e tem três itens:
a) achar um vetor u ortogonal a três vetores dados;
b) construir uma base ortogonal de \mathbb{R}^3 que contenha o vetor (1,-1,-2) usando o processo de Gram–Schmidt;
c) determinar (a,b,c) para que \{(1,-3,2),(2,2,2),(a,b,c)\} seja uma base ortogonal em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Para o item (a), um modo rápido de obter um vetor ortogonal a dois vetores v_{1} e v_{2} em \mathbb{R}^3 é usar o produto vetorial. Se ainda satisfizer a ortogonalidade a um terceiro vetor v_{3}, então esse produto vetorial é solução. Calculamos
u = v_{1} \times v_{2}
com v_{1}=(1,1,2) e v_{2}=(5,1,3).

Passo 3

O produto vetorial é
v_{1}\times v_{2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 1 & 1 & 2\\\\ 5 & 1 & 3 \end{vmatrix} = (1\cdot3-2\cdot1)\,\mathbf{i} - (1\cdot3-2\cdot5)\,\mathbf{j} + (1\cdot1-1\cdot5)\,\mathbf{k} = (1,\,7,\,-4).
Verifica-se ainda que (1,7,-4)\cdot v_{3}=0, então
u=(1,7,-4)
é ortogonal a v_{1},v_{2},v_{3}.

Passo 4

Para o item (b), aplicamos Gram–Schmidt começando pelo vetor de A:
w_{1}=(1,-1,-2).
Escolhemos um vetor inicial qualquer não colinear a w_{1}, por exemplo (1,0,0), e subtraímos sua projeção em w_{1}:
\operatorname{proj}_{w_{1}}(1,0,0) =\frac{\langle(1,0,0),w_{1}\rangle}{\langle w_{1},w_{1}\rangle}\,w_{1} =\frac{1}{6}\,(1,-1,-2).

Passo 5

Definimos
w_{2}=(1,0,0)-\frac{1}{6}(1,-1,-2) =\bigl(\tfrac{5}{6},\tfrac{1}{6},\tfrac{1}{3}\bigr),
que, multiplicado por 6 para eliminar frações, equivale a
w_{2}=(5,1,2).
Verifica-se \langle w_{2},w_{1}\rangle=0.

Passo 6

Finalmente, para obter w_{3} ortogonal a w_{1} e w_{2}, podemos usar o produto vetorial:
w_{3}=w_{1}\times w_{2} =(1,-1,-2)\times(5,1,2) =(0,-12,6)\sim(0,-2,1).
Logo uma base ortogonal é
B=\{(1,-1,-2),\,(5,1,2),\,(0,-2,1)\}.

Passo 7

Para o item (c), o vetor (a,b,c)\) deve satisfazer \[(1,-3,2)\cdot(a,b,c)=a-3b+2c=0,
(2,2,2)\cdot(a,b,c)=2a+2b+2c=0\;\Longleftrightarrow\;a+b+c=0.
Resolvendo o sistema,
\begin{cases} a-3b+2c=0,\\\ a+b+c=0, \end{cases}
da segunda (c=-a-b]. Substituindo na primeira,
a-3b+2(-a-b)=0\;\Longrightarrow\;-a-5b=0\;\Longrightarrow\;a=-5b,
c=-(-5b)-b=4b.
Assim qualquer múltiplo de (-5,1,4) serve; escolhemos
(a,b,c)=(-5,1,4).

Resposta

a) u=(1,7,-4).
b) Uma base ortogonal contendo (1,-1,-2) é \{(1,-1,-2),\,(5,1,2),\,(0,-2,1)\}.
c) (a,b,c)=(-5,1,4).

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