Considere, no \mathbb{R}^{3}, o produto interno usual.
a) Determine um vetor u \in \mathbb{R}^{3} ortogonal aos vetores v_{1}=(1,1,2), v_{2}=(5,1,3) e v_{3}=(2,-2,-3).
b) Seja A=\{(1,-1,-2)\}. encontre uma base ortogonal B de \mathbb{R}^{3} que contenha A .
c) Determine os vetores ( a, b, c ) para que o conjunto B=\{(1,-3,2),(2,2,2),(a, b, c)\} seja uma base ortogonal do \mathbb{R}^{3}.
Passo 1
O enunciado trabalha com o produto interno usual em \mathbb{R}^3 e tem três itens:
a) achar um vetor u ortogonal a três vetores dados;
b) construir uma base ortogonal de \mathbb{R}^3 que contenha o vetor (1,-1,-2) usando o processo de Gram–Schmidt;
c) determinar (a,b,c) para que \{(1,-3,2),(2,2,2),(a,b,c)\} seja uma base ortogonal em \mathbb{R}^3.
Passo 2
Para o item (a), um modo rápido de obter um vetor ortogonal a dois vetores v_{1} e v_{2} em \mathbb{R}^3 é usar o produto vetorial. Se ainda satisfizer a ortogonalidade a um terceiro vetor v_{3}, então esse produto vetorial é solução. Calculamos