(
ponto) Mostre que se
for convergente e
então
converge (dica: prove que
partindo de
).
Passo 1
O enunciado nos dá uma série de termos não-negativos
convergente e pede para mostrar que
também converge. O que vamos usar é o teste da comparação para séries de termos não-negativos e uma desigualdade algébrica que parte de
.
Passo 2
Começamos de
de onde
Passo 3
No nosso caso tomamos
Então
Passo 4
Somando essa desigualdade de
até
, obtemos
Pelo hipóteses
converge e sabemos que
converge (série
com
). Portanto o lado direito tem limite finito quando
, e assim, por comparação,
converge.
Resposta
A série
converge.