( O, 5 ponto) Mostre que se sumn=1^infty xn for convergente e xn >= 0, forall n in N então sumn=1^infty raizxnn converge (dica: prove que a b <= a^22+b^22 partindo de 0 <=(a-b)^2 ).

Passo 1

O enunciado nos dá uma série de termos não-negativos sumn=1^inftyxn convergente e pede para mostrar que
sumn=1^inftyraizxnn
também converge. O que vamos usar é o teste da comparação para séries de termos não-negativos e uma desigualdade algébrica que parte de (a-b)^2>=0.

Passo 2

Começamos de
0 <= (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2,
de onde
2ab <= a^2 + b^2 Longrightarrow ab <= a^22 + b^22

Passo 3

No nosso caso tomamos
a = raizxn, b = 1n
Então
raizxnn = a,b <= a^22 + b^22 = xn2 + 12,n^2

Passo 4

Somando essa desigualdade de n=1 até N, obtemos
sumn=1^Nraizxnn <= sumn=1^Nl(tfracxn2+tfrac12n^2r) = 12sumn=1^Nxn +12sumn=1^N1n^2
Pelo hipóteses sum xn converge e sabemos que sum1/n^2 converge (série p com p=2>1). Portanto o lado direito tem limite finito quando Ntoinfty, e assim, por comparação,
sumn=1^inftyraizxnn
converge.

Resposta

A série sumn=1^inftyraizxnn converge.

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