3.4B Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de potências:
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
O conteúdo principal é convergência de séries de potências; usaremos o teste da raiz para determinar em que valores de
ela converge.
Passo 2
Para aplicar o teste da raiz, é conveniente reescrever a série em função de
Note que
Assim a série fica
O fator
não interfere no critério de convergência em
, pois independe de
.
Passo 3
Aplique o teste da raiz ao termo
Calculamos
Para convergir pelo teste da raiz precisamos de
Substituindo
y=(x+1)^3 , obtemos
Passo 4
Falta verificar o caso de igualdade
|x+1| = 5^-1/3 . Nesse caso
então o termo geral em módulo é
Como
sum(1+5^-2n)/n^2 converge (é comparável a
sum1/n^2 ), a série converge também para
|x+1|=5^-1/3 .
Resposta
O intervalo de convergência é