3.4B Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=1^infty (5^n+5^-n)(x+1)^3 n-2n^2

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^inftyl(5^n+5^-nr),(x+1)^3n-2n^2
O conteúdo principal é convergência de séries de potências; usaremos o teste da raiz para determinar em que valores de x ela converge.

Passo 2

Para aplicar o teste da raiz, é conveniente reescrever a série em função de
y = (x+1)^3
Note que
(x+1)^3n-2 = (x+1)^-2,l((x+1)^3r)^n = (x+1)^-2,y^n
Assim a série fica
sumn=1^infty(5^n+5^-n),y^nn^2;(x+1)^-2
O fator (x+1)^-2 não interfere no critério de convergência em n, pois independe de n.

Passo 3

Aplique o teste da raiz ao termo
an = (5^n+5^-n),y^nn^2
Calculamos
limsupntoinftyraiz[n]l|anr| ;=;limsupntoinftyraiz[n]5^n+5^-n,|y|raiz[n]n^2 ;=;5,|y|
Para convergir pelo teste da raiz precisamos de
5,|y| < 1 Long<=ftrightarrow |y| < 15
Substituindo y=(x+1)^3, obtemos
l|(x+1)^3r| < 15 Long<=ftrightarrow |x+1| < raiz[,3!]15

Passo 4

Falta verificar o caso de igualdade |x+1| = 5^-1/3. Nesse caso
l|(x+1)^3n-2r| = (5^-1/3)^3n-2 = 5^-n,|x+1|^-2,
então o termo geral em módulo é
l|anr| = |x+1|^-2,5^n+5^-nn^2;5^-n =|x+1|^-2,1+5^-2nn^2
Como sum(1+5^-2n)/n^2 converge (é comparável a sum1/n^2), a série converge também para |x+1|=5^-1/3.

Resposta

O intervalo de convergência é
-1-raiz[3]tfrac15;<=;x;<=;-1+raiz[3]tfrac15

Exercícios relacionados