Resolva os itens a), b) e c) abaixo:
a) Considere as funções phin(x)=raiz2pi sen(n x), n >= 1. Mostre que elas são ortonormais como funções em L^2(0, pi), ou seja,
lang<=phin, phimrang<==integral0^pi phin(x) phim(x) d x=integral0^pi(raiz2pi sen(n x))(raiz2pi sen(m x)) d x=de<an m:=l 1, se n=m 0, se n neq m
b) Mostre que se f in L^2(0, pi), então
f=sumn=1^inftylang<= f, phinrang<= phin
equivale a expansão de série de Fourier em seno. (Substitua lang<= f, phinrang<= pela integral e phin pelas funções acima e verifique que a somatória acima é exatamente igual a expansão de Fourier em seno).
c) Ache a série de Fourier da função f:[-pi, pi] C dada abaixo:
f(theta)=c 0, theta in[-pi, 0] 1, theta in] 0, pi]
Usando a Fórmula de Parseval e a expressão obtida, mostre que sumn=1^infty 1(2 n-1)^2=pi^28.

Passo 1

O enunciado tem três partes. Primeiro (item a) pede para mostrar que as funções
phin(x)=raiz2pisin(nx), n>=1,
são ortonormais em L^2(0,pi), isto é, lang<=phin,phimrang<==de<anm. Em seguida (item b) queremos verificar que a expansão
f=sumn=1^inftylang<= f,phinrang<=phin
é precisamente a série de Fourier em senos para f. Por fim (item c) calculamos a série de Fourier de
f(theta)= 0,&thetain[-pi,0], 1,&thetain(0,pi],
usamos a Fórmula de Parseval e mostramos que
sumn=1^infty1(2n-1)^2=pi^28

Passo 2

Para o item a, calculamos o produto interno
lang<=phin,phimrang<= =integral0^piphin(x),phim(x),dx =2piintegral0^pisin(nx)sin(mx),dx
Usando a identidade
sin(nx)sin(mx) =tfrac12l[cos((n-m)x)-cos((n+m)x)r]
e integrando, obtém-se
integral0^pisin(nx)sin(mx),dx = 0,&nneq m, pi2,&n=m
Multiplicando por 2/pi segue
lang<=phin,phimrang<= =de<anm

Passo 3

No item b, escrevemos
lang<= f,phinrang<= =integral0^pif(x),phin(x),dx =raiz2piintegral0^pif(x)sin(nx),dx
Logo a expansão
f(x) =sumn=1^inftylang<= f,phinrang<=,phin(x) =sumn=1^infty l(raiztfrac2pi!integral0^pif(t)sin(nt),dtr) raiztfrac2pisin(nx)
é exatamente
f(x)=sumn=1^inftybnsin(nx),
com
bn=2piintegral0^pif(t)sin(nt),dt,
ou seja, é a série de Fourier em senos.

Passo 4

Para o item c, definimos os coeficientes da série de Fourier em [-pi,pi]:
a0=1piintegral-pi^pif(theta),dtheta =1piintegral0^pi1,dtheta=1,
an=1piintegral-pi^pif(theta)cos(ntheta),dtheta =1piintegral0^picos(ntheta),dtheta=0,
bn=1piintegral-pi^pif(theta)sin(ntheta),dtheta =1piintegral0^pisin(ntheta),dtheta =1-(-1)^npi n
Portanto b2k=0 e b2k-1=tfrac2pi(2k-1). A série de Fourier resultante é
f(theta) =a02+sumn=1^inftyl(ancos(ntheta)+bnsin(ntheta)r) =12+sumk=1^infty2pi(2k-1)sinl((2k-1)thetar)

Passo 5

Aplicando Parseval, temos
1piintegral-pi^pi|f(theta)|^2dtheta =a0^22+sumn=1^infty(an^2+bn^2)
O lado esquerdo vale
1piintegral-pi^pi|f|^2 =1piintegral0^pi1,dtheta=1
No lado direito aparece
a0^22= 12, sumn=1^inftybn^2 =sumk=1^inftyl(2pi(2k-1)r)^2 =4pi^2sumk=1^infty1(2k-1)^2
Logo
1=12+4pi^2sumk=1^infty1(2k-1)^2 Longrightarrow sumk=1^infty1(2k-1)^2=pi^28

Resposta

(a) lang<=phin,phimrang<==de<anm.
(b) A identidade
f(x)=sumn=1^inftylang<= f,phinrang<=phin(x)
é exatamente a expansão em senos
f(x)=sumn=1^inftybnsin(nx).
(c)
f(theta)=12+sumk=1^infty2pi(2k-1)sinl((2k-1)thetar),
e pela Fórmula de Parseval
sumn=1^infty1(2n-1)^2=pi^28

Exercícios relacionados