Resolva os itens a), b) e c) abaixo:
a) Considere as funções
. Mostre que elas são ortonormais como funções em
, ou seja,
b) Mostre que se
f in L^2(0, pi) , então
f=sumn=1^inftylang<= f, phinrang<= phin
equivale a expansão de série de Fourier em seno. (Substitua
lang<= f, phinrang<= pela integral e
phin pelas funções acima e verifique que a somatória acima é exatamente igual a expansão de Fourier em seno).
c) Ache a série de Fourier da função
f:[-pi, pi] C dada abaixo:
f(theta)=c 0, theta in[-pi, 0] 1, theta in] 0, pi]
Usando a Fórmula de Parseval e a expressão obtida, mostre que
sumn=1^infty 1(2 n-1)^2=pi^28 .
a) Considere as funções
c) Ache a série de Fourier da função
Passo 1
O enunciado tem três partes. Primeiro (item a) pede para mostrar que as funções
são ortonormais em
L^2(0,pi) , isto é,
lang<=phin,phimrang<==de<anm . Em seguida (item b) queremos verificar que a expansão
é precisamente a série de Fourier em senos para
f . Por fim (item c) calculamos a série de Fourier de
usamos a Fórmula de Parseval e mostramos que
Passo 2
Para o item a, calculamos o produto interno
Usando a identidade
e integrando, obtém-se
Multiplicando por
2/pi segue
Passo 3
No item b, escrevemos
Logo a expansão
é exatamente
com
ou seja, é a série de Fourier em senos.
Passo 4
Para o item c, definimos os coeficientes da série de Fourier em
[-pi,pi] :
Portanto
b2k=0 e
b2k-1=tfrac2pi(2k-1) . A série de Fourier resultante é
Passo 5
Aplicando Parseval, temos
O lado esquerdo vale
No lado direito aparece
Logo
Resposta
(a)
lang<=phin,phimrang<==de<anm .
(b) A identidade
(b) A identidade
é exatamente a expansão em senos
f(x)=sumn=1^inftybnsin(nx) .
(c)
(c)
e pela Fórmula de Parseval
sumn=1^infty1(2n-1)^2=pi^28