Um ponto move-se de acordo com as seguintes equações de movimento:
x(t)=3 t^2+3 t^3 ; y(t)=5 t^2-4 t^2 ; z(t)=10 t-6 t^3, onde x, y e z são medidos em metros e +em segundos. Ache:
(a) o vetor velocidade em qualquer instante + ;
(b) o vetor aceleração em qualquer instante + ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o movimento de um ponto no espaço, com as posições em x, y e z dadas em função do tempo . A gente precisa encontrar o vetor velocidade e o vetor aceleração desse ponto em qualquer instante. Para resolver isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas, porque a velocidade é a derivada da posição e a aceleração é a derivada da velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade. A velocidade em cada direção é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar , e :
  • (aparentemente simplifica para )

Passo 3

Vamos derivar cada uma dessas funções:
  • Derivada de vx(t) = ddt(3 t^2 + 3 t^3) = 6 t + 9 t^2 :
    vy(t) = ddt(t^2) = 2 t
  • Derivada de vz(t) = ddt(10 t - 6 t^3) = 10 - 18 t^2 :
  • Derivada de :

Passo 4

Agora que temos as componentes da velocidade, podemos escrever o vetor velocidade completo:
v(t) = (6 t + 9 t^2),i + (2 t),j + (10 - 18 t^2),k

Passo 5

Seguimos para o vetor aceleração. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Vamos derivar cada componente da velocidade:
  • Derivada de ax(t) = ddt(6 t + 9 t^2) = 6 + 18 t :
    ay(t) = ddt(2 t) = 2
  • Derivada de az(t) = ddt(10 - 18 t^2) = -36 t :
  • Derivada de :

Passo 6

Com essas componentes, o vetor aceleração fica:
a(t) = (6 + 18 t),i + (2),j + (-36 t),k

Resposta

(a) O vetor velocidade em qualquer instante v(t) = (6 t + 9 t^2),i + (2 t),j + (10 - 18 t^2),k é:
a(t) = (6 + 18 t),i + (2),j + (-36 t),k
(b) O vetor aceleração em qualquer instante é:

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