Um ponto move-se de acordo com as seguintes equações de movimento:
, onde
, y e z são medidos em metros e +em segundos. Ache:
(a) o vetor velocidade em qualquer instante + ;
(b) o vetor aceleração em qualquer instante + ;
(a) o vetor velocidade em qualquer instante + ;
(b) o vetor aceleração em qualquer instante + ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o movimento de um ponto no espaço, com as posições em x, y e z dadas em função do tempo
. A gente precisa encontrar o vetor velocidade e o vetor aceleração desse ponto em qualquer instante. Para resolver isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas, porque a velocidade é a derivada da posição e a aceleração é a derivada da velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade. A velocidade em cada direção é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar
,
e
:
-
-
(aparentemente simplifica para ) -
Passo 3
Vamos derivar cada uma dessas funções:
-
Derivada de
: -
Derivada de
: -
Derivada de
:
Passo 4
Agora que temos as componentes da velocidade, podemos escrever o vetor velocidade completo:
Passo 5
Seguimos para o vetor aceleração. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Vamos derivar cada componente da velocidade:
-
Derivada de
: -
Derivada de
: -
Derivada de
:
Passo 6
Com essas componentes, o vetor aceleração fica:
Resposta
(a) O vetor velocidade em qualquer instante
é:
(b) O vetor aceleração em qualquer instante
é: