Uma partícula se desloca em um plano
, de tal modo que a sua velocidade é dada por:
. Determine:
(a)
vetor aceleração em um instante qualquer;
(b)
módulo do vetor aceleração no tempo
;
©
vetor aceleração média entre
e
.
(d)
tempo em que o componente vertical do vetor aceleração é zero.
(e)
vetor posição para o instante
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma partícula que se movimenta em um plano
com uma velocidade dada pela função vetorial:
O conteúdo principal aqui é cinemática vetorial, onde vamos trabalhar com vetores velocidade e aceleração. Para resolver as partes do exercício, vamos precisar usar derivadas para encontrar a aceleração e entender conceitos de vetor, módulo de vetor, aceleração média e integração para encontrar a posição.
Passo 2
Parte (a): Determinar o vetor aceleração em um instante qualquer.
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente da velocidade:
Derivando cada componente:
Passo 3
Parte (b): Determinar o módulo do vetor aceleração no tempo
.
Primeiro, encontramos a aceleração no instante
:
Agora, calculamos o módulo desse vetor usando a fórmula:
Passo 4
Parte ©: Determinar o vetor aceleração média entre
e
.
A aceleração média é dada pela variação da velocidade dividida pelo intervalo de tempo:
Primeiro, encontramos
e
:
Então,
Passo 5
Parte (d): Determinar o tempo em que o componente vertical do vetor aceleração é zero.
A componente vertical da aceleração é a componente
de
:
Queremos encontrar
tal que
:
Então, o componente vertical da aceleração é zero somente no instante inicial
.
Passo 6
Parte (e): Determinar o vetor posição para o instante
.
Para encontrar a posição, precisamos integrar a velocidade em relação ao tempo. A posição
é dada por:
Assumindo que
(posição inicial na origem), vamos integrar cada componente da velocidade:
Como
,
. Então:
Agora, substituindo
:
Resposta
(a)
(b) O módulo da aceleração em
é aproximadamente
©
(d) O componente vertical da aceleração é zero em
(e) O vetor posição em
é