Se um ponto se move em uma reta coordenada com a aceleração a(t) e as condições iniciais dadas, determine s(t).
a(t)=3 t^{2});
(v(0)=20 ; \quad s(0)=5)

Passo 1

O enunciado dá a aceleração de um ponto sobre uma reta como
a(t)=3t^{2}
e as condições iniciais
v(0)=20,\quad s(0)=5.
O conteúdo é cinematica unidimensional: temos
a(t)=\frac{dv}{dt},\quad v(t)=\frac{ds}{dt},
e para encontrar s(t) precisamos integrar duas vezes, aplicando as condições iniciais para determinar as constantes de integração.

Passo 2

Integramos a(t) para obter a velocidade v(t).
v(t)=\int a(t)\,dt=\int 3t^{2}\,dt = t^{3}+C_{1}.
Como v(0)=20, basta fazer
v(0)=0^{3}+C_{1}=20\quad\Longrightarrow\quad C_{1}=20.
Logo
v(t)=t^{3}+20.

Passo 3

Agora integramos v(t) para obter a posição s(t).
s(t)=\int v(t)\,dt=\int (t^{3}+20)\,dt = \frac{t^{4}}{4}+20t+C_{2}.

Passo 4

Aplicamos a condição s(0)=5:
s(0)=\frac{0^{4}}{4}+20\cdot 0 + C_{2}=5\quad\Longrightarrow\quad C_{2}=5.
Portanto a função posição é
s(t)=\frac{t^{4}}{4}+20t+5.

Resposta

s(t)=\frac{t^{4}}{4}+20t+5.

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