O ponto P pertence ao eixo y e equidista de A (-1,1) e B (4,2). Determine as coordenadas de P.
Passo 1
Vamos entender o problema! Temos um ponto $ P $ que está no eixo $ y $ e está igualmente distante dos pontos $ A(-1, 1) $ e $ B(4, 2) $. Nosso objetivo é encontrar as coordenadas de $ P $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância entre dois pontos.
Passo 2
Como $ P $ está no eixo $ y $, sabemos que a coordenada $ x $ de $ P $ é 0. Então, podemos representar $ P $ como $ (0, y) $, onde $ y $ é o que precisamos encontrar.
Passo 3
A distância entre $ P $ e $ A $ deve ser igual à distância entre $ P $ e $ B $. Vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos, que é:
Passo 4
Calculando as distâncias:
Distância $ PA $:
Distância $ PB $:
Passo 5
Como $ PA = PB $, podemos igualar as duas expressões:
Passo 6
Para eliminar as raízes quadradas, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Passo 7
Agora, vamos expandir os termos:
Passo 8
Simplificando a equação:
Passo 9
Subtraindo $ y^2 $ de ambos os lados para simplificar:
Passo 10
Vamos isolar $ y $:
Resposta
As coordenadas de $ P $ são $ (0,,9) $.