O ponto P pertence ao eixo y e equidista de A (-1,1) e B (4,2). Determine as coordenadas de P.

Passo 1

Vamos entender o problema! Temos um ponto $ P $ que está no eixo $ y $ e está igualmente distante dos pontos $ A(-1, 1) $ e $ B(4, 2) $. Nosso objetivo é encontrar as coordenadas de $ P $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância entre dois pontos.

Passo 2

Como $ P $ está no eixo $ y $, sabemos que a coordenada $ x $ de $ P $ é 0. Então, podemos representar $ P $ como $ (0, y) $, onde $ y $ é o que precisamos encontrar.

Passo 3

A distância entre $ P $ e $ A $ deve ser igual à distância entre $ P $ e $ B $. Vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos, que é:
P

Passo 4

Calculando as distâncias:
Distância $ PA $:
PA
Distância $ PB $:
PA = raiz(0 - (-1))^2 + (y - 1)^2 = raiz1 + (y - 1)^2

Passo 5

Como $ PA = PB $, podemos igualar as duas expressões:
PA = PB

Passo 6

Para eliminar as raízes quadradas, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
1 + (y - 1)^2 = 16 + (2 - y)^2

Passo 7

Agora, vamos expandir os termos:
1 + y^2 - 2y + 1 = 16 + 4 - 4y + y^2

Passo 8

Simplificando a equação:
2 + y^2 - 2y = 20 - 4y + y^2

Passo 9

Subtraindo $ y^2 $ de ambos os lados para simplificar:
y^2

Passo 10

Vamos isolar $ y $:
y

Resposta

As coordenadas de $ P $ são $ (0,,9) $.

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