Seja X o tempo entre detecções de uma partícula rara em um contador Geiger e considerando que X tenha uma distribuição exponencial com E(X) = 1,4 minuto. A probabilidade de detectarmos uma partícula dentro de 30 segundos a partir do começo da contagem é
a. 0,1.
b. 0,2.
c. 0,4.
d. 0,3.
e. 0,5.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um tempo $ X $ entre detecções de uma partícula rara num contador Geiger, e sabe que $ X $ segue uma distribuição Exponencial com valor esperado $ E(X) = 1,4 $ minutos. A pergunta é: Qual a probabilidade de detectar uma partícula dentro de 30 segundos (que é meio minuto) a partir do início da contagem?
Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a distribuição exponencial e como calcular probabilidades com ela.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma distribuição exponencial. Ela é usada para modelar o tempo entre eventos que acontecem de forma contínua e independente, como as detecções de partículas no nosso caso.
A função de densidade de probabilidade (FDP) da distribuição exponencial é dada por:
f(x) = lambda e^-lambda x para x >= 0
E a função de distribuição acumulada (FDA), que nos dá a probabilidade de que o tempo $ X $ seja menor ou igual a um certo valor $ x $, é:
X
Onde $ \lambda $ é a taxa da distribuição, que está relacionada com o valor esperado $ E(X) $ pela fórmula:
x

Passo 3

Agora, vamos calcular a taxa $ \lambda $ usando o valor esperado que a gente tem:
lambda
Queremos saber a probabilidade de detectar uma partícula dentro de 0,5 minutos (30 segundos). Usamos a FDA da distribuição exponencial para isso:
lambda = 11,4 approx 0,714 , por minuto
Vamos calcular o expoente primeiro:
F(0,5) = 1 - e^-lambda times 0,5 = 1 - e^-0,714 times 0,5
Então:
-0,714 times 0,5 = -0,357

Resposta

A probabilidade de detectar uma partícula dentro de 30 segundos é aproximadamente 0,3.
Resposta correta: d. 0,3

Exercícios relacionados