Calcule o limite de x/senx quando x tende a 0

Passo 1

Vamos calcular o limite de xsin x quando x tende a 0. Esse exercício está relacionado ao estudo de limites, uma parte importante do cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como a função seno se comporta perto de 0 e usar algumas regras básicas de limites.

Passo 2

Primeiro, observamos que quando x se aproxima de 0, sin x também se aproxima de 0. Isso significa que estamos lidando com uma forma indeterminada do tipo 00. Nesses casos, uma ferramenta útil é a Regra de L’Hôpital, que nos ajuda a resolver limites indeterminados.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital diz que se temos limx to c f(x)g(x) = 00 ou inftyinfty, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite dos derivados. Aqui, nossa função f(x) = x e g(x) = sin x.

Passo 4

Vamos derivar f(x) e g(x):
  • A derivada de f(x) = x é f'(x) = 1.
  • A derivada de g(x) = sin x é g'(x) = cos x.
Aplicando a Regra de L’Hôpital, temos:
limx to 0 xsin x = limx to 0 f'(x)g'(x) = limx to 0 1cos x

Passo 5

Agora, precisamos calcular limx to 0 1cos x. Sabemos que cos 0 = 1 e que a função cosseno é contínua em 0. Portanto, o limite é:
1cos 0 = 11 = 1

Resposta

O limite de xsin x quando x tende a 0 é 1.

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