(1 ponto) A posição de uma partícula é \vec{r}=\left\{\left(2 \cdot t^{3}-t\right) \hat{i}+\left(3 \cdot t^{1 / 2}+t\right) \hat{j}-\left(2 \cdot t^{2}-1\right) \hat{k}\right\} m , onde t é dado em segundos. Determine a intensidade da velocidade e da aceleração da partícula quando t=3 s. (Equivalente ao Problema 12.71 p. 35)

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo t (em segundos):
\vec{r}(t)=\bigl(2\cdot t^{3}-t\bigr)\,\hat{i}+\bigl(3\cdot t^{1/2}+t\bigr)\,\hat{j}-\bigl(2\cdot t^{2}-1\bigr)\,\hat{k}\\ \text{m}.
O que é pedido: determinar a intensidade (módulo) da velocidade e da aceleração da partícula quando t=3\\ \text{s}.
Informações relevantes que temos:
  • Componentes de \vec{r}(t): x(t)=2t^{3}-t,\qquad y(t)=3t^{1/2}+t,\qquad z(t)=-\bigl(2t^{2}-1\bigr)=-2t^{2}+1.
  • Tempo onde avaliar: t=3\\ \text{s}.

Passo 2

Definição e cálculo da velocidade: a velocidade é a derivada temporal da posição,
\vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}.
Regra usada (regra do poder / power rule): se f(t)=t^{n} então f'(t)=n t^{n-1}. Também uso que a derivada de uma constante é zero e a derivada é linear (derivada de soma é soma das derivadas, e constantes multiplicam).
Derivo cada componente:
v_x(t)=\frac{d}{dt}\bigl(2t^{3}-t\bigr)=2\cdot 3 t^{2}-1=6t^{2}-1.
v_y(t)=\frac{d}{dt}\bigl(3t^{1/2}+t\bigr)=3\cdot\frac{1}{2}t^{-1/2}+1=\frac{3}{2}t^{-1/2}+1.
v_z(t)=\frac{d}{dt}\bigl(-2t^{2}+1\bigr)=-4t.
Portanto,
\vec{v}(t)=\bigl(6t^{2}-1\bigr)\,\hat{i}+\Bigl(\frac{3}{2}t^{-1/2}+1\Bigr)\,\hat{j}+(-4t)\,\hat{k}.

Passo 3

Definição e cálculo da aceleração: a aceleração é a derivada temporal da velocidade,
\vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}}{dt}.
Derivo cada componente usando novamente a regra do poder.
Para v_x(t)=6t^{2}-1:
a_x(t)=\frac{d}{dt}\bigl(6t^{2}-1\bigr)=6\cdot 2 t =12t.
Para v_y(t)=\dfrac{3}{2}t^{-1/2}+1:
a_y(t)=\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{3}{2}t^{-1/2}+1\Bigr)=\frac{3}{2}\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)t^{-3/2}=-\frac{3}{4}t^{-3/2}.
Para v_z(t)=-4t:
a_z(t)=\frac{d}{dt}(-4t)=-4.
Logo,
\vec{a}(t)=\bigl(12t\bigr)\,\hat{i}+\Bigl(-\frac{3}{4}t^{-3/2}\Bigr)\,\hat{j}+(-4)\,\hat{k}.

Passo 4

Avaliar \vec{v}(t) e \vec{a}(t) em t=3\\ \text{s}.
Para a velocidade:
v_x(3)=6\cdot 3^{2}-1=6\cdot 9-1=54-1=53.
v_y(3)=\frac{3}{2}\cdot 3^{-1/2}+1=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}+1 =1+\frac{3}{2\sqrt{3}}=1+\frac{\sqrt{3}}{2}.
(Observe que \dfrac{3}{2\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.)
v_z(3)=-4\cdot 3=-12.
Portanto
\vec{v}(3)=53\,\hat{i}+\Bigl(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)\,\hat{j}-12\,\hat{k}\\ \text{(m/s)}.
Para a aceleração:
a_x(3)=12\cdot 3=36.
a_y(3)=-\frac{3}{4}\cdot 3^{-3/2}=-\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{3^{3/2}} =-\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{3\sqrt{3}}=-\frac{1}{4\sqrt{3}}.
a_z(3)=-4.
Logo
\vec{a}(3)=36\,\hat{i}-\frac{1}{4\sqrt{3}}\,\hat{j}-4\,\hat{k}\\ \text{(m/s}^{2}\text{)}.

Passo 5

Calcular as intensidades (módulos). Fórmula do módulo de um vetor \vec{u}=(u_x,u_y,u_z) é
\|\vec{u}\|=\sqrt{u_x^{2}+u_y^{2}+u_z^{2}}.
Módulo da velocidade em t=3:
\|\vec{v}(3)\|=\sqrt{53^{2}+\Bigl(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)^{2}+(-12)^{2}}.
Calculo passo a passo:
53^{2}=2809,\qquad (-12)^{2}=144,
\Bigl(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)^{2}=1+\sqrt{3}+\frac{3}{4}=\frac{7}{4}+\sqrt{3}\approx 1{,}75+1{,}7320508=3{,}4820508.
Somando:
2809+144+3{,}4820508=2956{,}4820508.
Portanto
\|\vec{v}(3)\|=\sqrt{2956{,}4820508}\approx 54{,}3735\\ \text{m/s}.
(Arredondando: \approx 54{,}374\\ \text{m/s}.)
Módulo da aceleração em t=3:
\|\vec{a}(3)\|=\sqrt{36^{2}+\Bigl(-\frac{1}{4\sqrt{3}}\Bigr)^{2}+(-4)^{2}}.
Calculo:
36^{2}=1296,\qquad (-4)^{2}=16,\qquad \Bigl(-\frac{1}{4\sqrt{3}}\Bigr)^{2}=\frac{1}{16\cdot 3}=\frac{1}{48}\approx 0{,}0208333.
Somando:
1296+16+0{,}0208333=1312{,}0208333.
Então
\|\vec{a}(3)\|=\sqrt{1312{,}0208333}\approx 36{,}22193\\ \text{m/s}^{2}.
(Arredondando: \approx 36{,}222\\ \text{m/s}^{2}.)

Resposta

\|\vec{v}(3)\|\approx 54{,}374\\ \text{m/s}
\|\vec{a}(3)\|\approx 36{,}222\\ \text{m/s}^{2}

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