(1 ponto) A posição de uma partícula é \vec{r}=\left\{\left(2 \cdot t^{3}-t\right) \hat{i}+\left(3 \cdot t^{1 / 2}+t\right) \hat{j}-\left(2 \cdot t^{2}-1\right) \hat{k}\right\} m , onde t é dado em segundos. Determine a intensidade da velocidade e da aceleraçāo da partícula quando t=3 \mathrm{~s}. (Equivalente ao Problema 12.71 p. 35)

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • A posição da partícula é dada por
    \vec{r}(t)=\bigl(2\,t^{3}-t\bigr)\,\hat{i}+\bigl(3\,t^{1/2}+t\bigr)\,\hat{j}+\bigl(-2\,t^{2}+1\bigr)\,\hat{k} metros, com t em segundos. (Reescrevi o termo em \hat{k} como -2\,t^{2}+1 para ficar explícito.)
  • O enunciado pede: determinar a intensidade (ou seja, o módulo) da velocidade e o módulo da aceleração quando t=3\\ \mathrm{s}.
Resumo das informações importantes extraídas do enunciado:
  • Componente \hat{i} da posição: \,x(t)=2\,t^{3}-t.
  • Componente \hat{j} da posição: \,y(t)=3\,t^{1/2}+t.
  • Componente \hat{k} da posição: \,z(t)=-2\,t^{2}+1.
  • Avaliar velocidade e aceleração em t=3\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Encontrar a velocidade como a derivada temporal da posição: \vec{v}(t)=\dfrac{d\vec{r}}{dt}. Vou usar a regra potência para derivadas: para qualquer n real vale \dfrac{d}{dt}\bigl(t^{n}\bigr)=n\,t^{n-1}. Também a derivada de uma constante é zero e a derivada soma-se termo a termo.
Derivo cada componente:
  • Para \hat{i}:
    v_x(t)=\frac{d}{dt}\bigl(2\,t^{3}-t\bigr)=2\cdot 3\,t^{2}-1=6\,t^{2}-1.
  • Para \hat{j}: aqui há um termo com potência fracionária t^{1/2}. Aplicando a regra potência:
    v_y(t)=\frac{d}{dt}\bigl(3\,t^{1/2}+t\bigr)=3\cdot\frac{1}{2}\,t^{-1/2}+1=\frac{3}{2}\,t^{-1/2}+1.
    Observação pedagógica: t^{-1/2} é 1/\sqrt{t}. Então \dfrac{3}{2}\,t^{-1/2}=\dfrac{3}{2\sqrt{t}}.
  • Para \hat{k}:
    v_z(t)=\frac{d}{dt}\bigl(-2\,t^{2}+1\bigr)=-2\cdot 2\,t + 0 = -4\,t.
Portanto
\vec{v}(t)=\bigl(6\,t^{2}-1\bigr)\,\hat{i}+\left(\frac{3}{2}\,t^{-1/2}+1\right)\hat{j}+(-4\,t)\,\hat{k}.

Passo 3

Avaliar \vec{v}(t) em t=3\\ \mathrm{s}.
  • Computar cada componente: v_x(3)=6\cdot 3^{2}-1=6\cdot 9-1=54-1=53.
v_y(3)=\frac{3}{2}\,3^{-1/2}+1=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}+1=\frac{3}{2\sqrt{3}}+1.
Simplificando \dfrac{3}{2\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} (multiplicando numerador e denominador por \sqrt{3}), obtemos
v_y(3)=1+\frac{\sqrt{3}}{2}.
v_z(3)=-4\cdot 3=-12.
Logo
\vec{v}(3)=53\,\hat{i}+\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\hat{j}-12\,\hat{k}\quad(\text{m/s}).
Agora calcular o módulo \lVert \vec{v}(3)\rVert. Pela definição do módulo de um vetor em 3D:
\lVert \vec{v}(3)\rVert=\sqrt{v_x(3)^{2}+v_y(3)^{2}+v_z(3)^{2}}.
Calcular termo a termo:
v_x(3)^{2}=53^{2}=2809, \qquad v_z(3)^{2}=(-12)^{2}=144.
Para v_y(3):
v_y(3)^{2}=\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} =1+2\cdot 1\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} =1+\sqrt{3}+\frac{3}{4} =\frac{7}{4}+\sqrt{3}.
Somando:
\lVert \vec{v}(3)\rVert^{2}=2809+144+\left(\frac{7}{4}+\sqrt{3}\right)=2953+\frac{7}{4}+\sqrt{3}.
Numericamente:
2953+\frac{7}{4}+\sqrt{3}=2953+1,75+1,7320508\ldots \approx 2956,4820508\ldots
Portanto
\lVert \vec{v}(3)\rVert\approx\sqrt{2956,4820508}\approx 54,37\\ \text{m/s}.
(Deixei também a forma exata \lVert \vec{v}(3)\rVert=\sqrt{2953+\dfrac{7}{4}+\sqrt{3}} caso queira checar simbolicamente.)

Passo 4

Agora a aceleração é a derivada da velocidade: \vec{a}(t)=\dfrac{d\vec{v}}{dt}=\dfrac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2}}. Derivo cada componente de \vec{v}(t).
  • Para \hat{i}:
    a_x(t)=\frac{d}{dt}\bigl(6\,t^{2}-1\bigr)=6\cdot 2\,t + 0 = 12\,t.
  • Para \hat{j}: partir de v_y(t)=\dfrac{3}{2}\,t^{-1/2}+1. Usa-se a regra potência com expoente -1/2:
    a_y(t)=\frac{d}{dt}\left(\frac{3}{2}\,t^{-1/2}+1\right)=\frac{3}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\,t^{-3/2}+0=-\frac{3}{4}\,t^{-3/2}.
    Observação: t^{-3/2}=1/(t^{3/2})=1/(t\sqrt{t}).
  • Para \hat{k}:
    a_z(t)=\frac{d}{dt}(-4\,t)=-4.
Portanto
\vec{a}(t)=12\,t\,\hat{i}-\frac{3}{4}\,t^{-3/2}\,\hat{j}-4\,\hat{k}.

Passo 5

Avaliar \vec{a}(t) em t=3\\ \mathrm{s}.
  • Componente \hat{i}:
    a_x(3)=12\cdot 3=36.
  • Componente \hat{j}:
    a_y(3)=-\frac{3}{4}\cdot 3^{-3/2}=-\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{3^{3/2}}.
    Como 3^{3/2}=3\sqrt{3}, temos
    a_y(3)=-\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{3\sqrt{3}}=-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{1}{4\sqrt{3}}.
    Pode-se racionalizar: -\dfrac{1}{4\sqrt{3}}=-\dfrac{\sqrt{3}}{12}. Numericamente -\dfrac{\sqrt{3}}{12}\approx -0,14434\\ \text{m/s}^2.
  • Componente \hat{k}:
    a_z(3)=-4.
Assim
\vec{a}(3)=36\,\hat{i}-\frac{1}{4\sqrt{3}}\,\hat{j}-4\,\hat{k}\quad(\text{m/s}^2).
Calcular o módulo \lVert \vec{a}(3)\rVert:
\lVert \vec{a}(3)\rVert=\sqrt{36^{2}+\left(-\frac{1}{4\sqrt{3}}\right)^{2}+(-4)^{2}}.
Calcular termo a termo:
36^{2}=1296,\qquad (-4)^{2}=16,\qquad \left(-\frac{1}{4\sqrt{3}}\right)^{2}=\frac{1}{16\cdot 3}=\frac{1}{48}\approx 0,0208333\ldots
Somando:
\lVert \vec{a}(3)\rVert^{2}=1296+16+\frac{1}{48}=1312+\frac{1}{48}\approx 1312,0208333\ldots
Logo
\lVert \vec{a}(3)\rVert\approx\sqrt{1312,0208333}\approx 36,22\\ \text{m/s}^2.

Resposta

\lVert \vec{v}(3)\rVert \approx 54,37\\ \text{m/s}
\lVert \vec{a}(3)\rVert \approx 36,22\\ \text{m/s}^2

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