(1 ponto) A posição de uma partícula é
m , onde
é dado em segundos. Determine a intensidade da velocidade e da aceleraçāo da partícula quando
. (Equivalente ao Problema 12.71 p. 35)
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
- A posição da partícula é dada por
metros, com em segundos. (Reescrevi o termo em como para ficar explícito.) - O enunciado pede: determinar a intensidade (ou seja, o módulo) da velocidade e o módulo da aceleração quando
.
Resumo das informações importantes extraídas do enunciado:
- Componente
da posição: . - Componente
da posição: . - Componente
da posição: . - Avaliar velocidade e aceleração em
.
Passo 2
Encontrar a velocidade como a derivada temporal da posição:
. Vou usar a regra potência para derivadas: para qualquer
real vale
. Também a derivada de uma constante é zero e a derivada soma-se termo a termo.
Derivo cada componente:
-
Para
: -
Para
: aqui há um termo com potência fracionária . Aplicando a regra potência: Observação pedagógica:é . Então . -
Para
:
Portanto
Passo 3
Avaliar
em
.
- Computar cada componente:
Simplificando
(multiplicando numerador e denominador por
), obtemos
Logo
Agora calcular o módulo
. Pela definição do módulo de um vetor em 3D:
Calcular termo a termo:
Para
:
Somando:
Numericamente:
Portanto
(Deixei também a forma exata
caso queira checar simbolicamente.)
Passo 4
Agora a aceleração é a derivada da velocidade:
. Derivo cada componente de
.
-
Para
: -
Para
: partir de . Usa-se a regra potência com expoente : Observação:. -
Para
:
Portanto
Passo 5
Avaliar
em
.
-
Componente
: -
Componente
: Como, temos Pode-se racionalizar:. Numericamente . -
Componente
:
Assim
Calcular o módulo
:
Calcular termo a termo:
Somando:
Logo