Nas condições naturais uma amostra de solo possui uma massa de 2290 g e um volume de 1,15 \times 10-3 \mathrm{~m}^{3}. Depois de seco em estufa a massa da amostra é 2035 g . O valor de massa específica dos grãos é 2,68 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}. Determine a massa específica aparente, o peso específico aparente, o teor de umidade, o índice de vazios, a porosidade e o grau de saturação da amostra.

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra de solo em condições naturais e os dados a seguir:
  • Massa natural da amostra: m_n = 2290\\ \text{g}.
  • Massa após secagem em estufa (massa seca): m_s = 2035\\ \text{g}.
  • Volume total da amostra: V = 1{,}15\times10^{-3}\\ \text{m}^3.
  • Massa específica dos grãos (densidade dos sólidos): \rho_s = 2{,}68\\ \text{g/cm}^3.
O que é pedido:
  • Massa específica aparente (densidade aparente ou massa volumétrica natural) da amostra.
  • Peso específico aparente (peso por unidade de volume).
  • Teor de umidade (conteúdo de água) em percentual.
  • Índice de vazios e (razão entre volume de vazios e volume de sólidos).
  • Porosidade n (fração do volume total que é vazio).
  • Grau de saturação S_r (fração do volume de vazios preenchida por água).
Observações/convencionalidades que vou usar (e que explico quando aparecerem):
  • Converter massas para quilogramas para ficar consistente com SI: 1\\ \text{g}=10^{-3}\\ \text{kg}.
  • Converter \rho_s para \text{kg/m}^3: 1\\ \text{g/cm}^3 = 1000\\ \text{kg/m}^3.
  • Densidade da água \rho_w = 1000\\ \text{kg/m}^3.
  • A gravidade: g = 9{,}81\\ \text{m/s}^2.
  • Volume de água V_w é dado por V_w = m_w/\rho_w, onde m_w é a massa de água.
  • Volume de sólidos V_s é dado por V_s = m_s/\rho_s, onde m_s é a massa seca.

Passo 2

Primeiro, converto as massas e a densidade dos grãos para unidades do SI.
  • m_n = 2290\\ \text{g} = 2{,}290\\ \text{kg}.
  • m_s = 2035\\ \text{g} = 2{,}035\\ \text{kg}.
  • massa de água presente: m_w = m_n - m_s = 2{,}290 - 2{,}035 = 0{,}255\\ \text{kg}.
  • volume total V = 1{,}15\times10^{-3}\\ \text{m}^3 (já em SI).
  • densidade dos grãos: \rho_s = 2{,}68\\ \text{g/cm}^3 = 2680\\ \text{kg/m}^3.
Explicação rápida: Converter tudo para as mesmas unidades é essencial para evitar erro. Aqui escolhi o SI (kg, m, s).

Passo 3

Calcular a massa específica aparente (densidade aparente) \rho.
Definição: \rho é a massa total (em condições naturais) dividida pelo volume total:
\rho=\frac{m_n}{V}.
Substituindo os valores:
\rho=\frac{2{,}290}{1{,}15\times10^{-3}}.
Faço a conta passo a passo:
1{,}15\times10^{-3}=0{,}00115, \qquad \frac{2{,}290}{0{,}00115}=1991{,}3043478\\ \text{kg/m}^3.
Resultado prático (arredondando sensatamente): \rho \approx 1991{,}30\\ \text{kg/m}^3, que também é \approx 1{,}9913\\ \text{g/cm}^3.
Comentário didático: a massa específica aparente diz quanto pesa 1 m^3 desse solo em condições naturais (mas em kg, por isso depois multiplicamos por g para obter o peso).

Passo 4

Calcular o peso específico aparente \gamma.
Definição: \gamma é o peso (força) por unidade de volume; relaciona-se com a densidade pela gravidade:
\gamma=\rho\cdot g.
Substituindo:
\gamma=1991{,}3043478\cdot9{,}81=19533{,}595\\ \text{N/m}^3.
Convém expressar em kN/m^3 (mais comum em geotecnia):
\gamma \approx 19{,}5336\\ \text{kN/m}^3.
Explicação: multiplicar a densidade por g transforma massa por volume em força por volume (N/m^3). Em geotecnia costuma-se usar kN/m^3.

Passo 5

Calcular o teor de umidade w.
Definição: teor de umidade (ou conteúdo de água) é a razão entre a massa de água e a massa seca:
w=\frac{m_w}{m_s}.
Substituindo:
w=\frac{0{,}255}{2{,}035}=0{,}125308\ldots
Em percentual:
w\approx 0{,}125308\times100\% = 12{,}5308\%.
Comentário didático: o teor de umidade indica quantos quilos de água existem por quilo de solo seco; é importante em muitos cálculos de engenharia de solos.

Passo 6

Calcular o volume dos sólidos V_s e o volume de água V_w.
Fórmulas:
V_s=\frac{m_s}{\rho_s},\qquad V_w=\frac{m_w}{\rho_w}.
Substituindo números:
V_s=\frac{2{,}035}{2680}=0{,}00075970149\\ \text{m}^3.
V_w=\frac{0{,}255}{1000}=0{,}000255\\ \text{m}^3.
Explicação: o volume dos sólidos vem da massa seca dividida pela densidade dos grãos; o volume de água vem da massa de água dividida pela densidade da água.

Passo 7

Calcular o volume de vazios V_v.
Definição: o volume de vazios é a diferença entre o volume total e o volume dos sólidos:
V_v=V-V_s.
Substituindo:
V_v=1{,}15\times10^{-3}-0{,}00075970149=0{,}00039029851\\ \text{m}^3.
Comentário: V_v é o espaço dentro da amostra que não é ocupado por grãos sólidos — pode estar ocupado por água e/ou ar.

Passo 8

Calcular o índice de vazios e.
Definição: e é a razão entre o volume de vazios e o volume de sólidos:
e=\frac{V_v}{V_s}.
Substituindo:
e=\frac{0{,}00039029851}{0{,}00075970149}=0{,}5139439\ldots
Arredondando: e \approx 0{,}51394.
Explicação: e é adimensional e muito usado em geotecnia; indica quanto de vazios há em relação ao volume de sólidos.

Passo 9

Calcular a porosidade n.
Definição: porosidade é a fração do volume total ocupada por vazios:
n=\frac{V_v}{V}.
Substituindo:
n=\frac{0{,}00039029851}{1{,}15\times10^{-3}}=0{,}3393913\ldots
Em porcentagem:
n\approx 33{,}93913\%\\ \text{(aprox. }33{,}94\%\text{)}.
Relação útil para lembrar: n=\dfrac{e}{1+e}. Se verificar rapidamente:
\frac{0{,}51394}{1+0{,}51394}=0{,}33939\\ \checkmark.

Passo 10

Calcular o grau de saturação S_r.
Definição: S_r é a fração do volume de vazios ocupada por água:
S_r=\frac{V_w}{V_v}.
Substituindo:
S_r=\frac{0{,}000255}{0{,}00039029851}=0{,}653540\ldots
Em porcentagem:
S_r\approx 65{,}354\%.
Explicação: S_r=1 (ou 100\%) significa solo totalmente saturado (sem ar nos vazios); aqui temos cerca de 65{,}35\%, ou seja, parcialmente saturado.

Resposta

Massa específica aparente: \rho \approx 1991{,}30\\ \text{kg/m}^3 \;(\approx 1{,}9913\\ \text{g/cm}^3)
Peso específico aparente: \gamma \approx 19{,}5336\\ \text{kN/m}^3
Teor de umidade: w \approx 12{,}5308\\ \%
Índice de vazios: e \approx 0{,}51394
Porosidade: n \approx 0{,}33939 \;(\approx 33{,}94\%)
Grau de saturação: S_r \approx 0{,}65354 \;(\approx 65{,}35\%)

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