MPa. Qual o tensor para um sistema de eixos, obtidos pela rotação de 45^{\circ} em relação ao eixo dos z, para quem olha na direção ao ponto(de z^{+}para z_{-})?
Passo 1
O enunciado dá o tensor de tensões no sistema de referência x y z e pede o tensor de tensões no sistema obtido por uma rotação de 45^\circ em torno do eixo z, tomada no sentido indicado: “para quem olha na direção ao ponto (de z^{+} para z^{-})”.
Informações fornecidas:
Rotação: \theta=45^\circ em torno do eixo z, vista do lado de +z para -z.
O que se pede:
Determinar o tensor de tensões expresso no novo sistema de eixos rotacionado de 45^\circ (ou seja, calcular as componentes \sigma_{x'x'}, \sigma_{y'y'}, \sigma_{x'y'}, \sigma_{x'z'}, \sigma_{y'z'}, \sigma_{z'z'}).
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática).
Quando se rotaciona o sistema de eixos por um ângulo \theta em torno de z (rotação de eixos, chamada transformação passiva), as componentes de tensões no plano xy transformam-se pelas fórmulas clássicas da mecânica dos materiais:
\sigma_{x} e \sigma_{y} são as tensões normais nas direções x e y no sistema original.
\tau_{xy} é a tensão de cisalhamento no plano xy no sistema original (aqui \tau_{xy}=\sigma_{xy}).
\theta é o ângulo de rotação dos eixos (positivo no sentido indicado).
Essas fórmulas vêm diretamente da regra de transformação de tensores de segunda ordem sob mudança de base ortonormal; elas são as formas práticas para rotações no plano.
Observação sobre a componente z: como a rotação é em torno do eixo z, a componente \sigma_{zz} não se mistura com x e y (ou seja, \sigma_{z'z'}=\sigma_{zz}) e as tensões de cisalhamento envolvendo z permanecem zero se eram zero originalmente (porque não há componentes \sigma_{xz} ou \sigma_{yz} iniciais).
Passo 3
Aplicando as fórmulas com os valores do enunciado. Primeiro identifique os valores:
Explicação do sinal: o resultado negativo indica que, no novo sistema de eixos rotacionado conforme o enunciado (rotação positiva vista de +z para -z), a componente de cisalhamento x'y' tem sentido oposto ao sinal positivo adotado pela convenção das fórmulas.
Passo 5
Agora completamos o tensor 3D no novo sistema. Como explicado, \sigma_{z'z'}=\sigma_{zz}=2,1\\ \text{MPa} e as componentes mistas envolvendo z permanecem nulas (\sigma_{x'z'}=\sigma_{y'z'}=0). Portanto o tensor no sistema rotacionado é