O tensor de tensões em um ponto P na referência x y z é:
\overline{\bar{\Sigma}}=\left(\begin{array}{ccc} 0,7 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2,1 \end{array}\right)
MPa. Qual o tensor para um sistema de eixos, obtidos pela rotação de 45^{\circ} em relação ao eixo dos z, para quem olha na direção ao ponto(de z^{+}para z_{-})?

Passo 1

O enunciado dá o tensor de tensões no sistema de referência x y z e pede o tensor de tensões no sistema obtido por uma rotação de 45^\circ em torno do eixo z, tomada no sentido indicado: “para quem olha na direção ao ponto (de z^{+} para z^{-})”.
Informações fornecidas:
  • Tensor original (em MPa):
\overline{\bar{\Sigma}}=\left(\begin{array}{ccc} 0,7 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2,1 \end{array}\right)
  • Rotação: \theta=45^\circ em torno do eixo z, vista do lado de +z para -z.
    O que se pede:
  • Determinar o tensor de tensões expresso no novo sistema de eixos rotacionado de 45^\circ (ou seja, calcular as componentes \sigma_{x'x'}, \sigma_{y'y'}, \sigma_{x'y'}, \sigma_{x'z'}, \sigma_{y'z'}, \sigma_{z'z'}).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática).
Quando se rotaciona o sistema de eixos por um ângulo \theta em torno de z (rotação de eixos, chamada transformação passiva), as componentes de tensões no plano xy transformam-se pelas fórmulas clássicas da mecânica dos materiais:
\sigma_{x'}=\sigma_{x}\cos^{2}\theta+\sigma_{y}\sin^{2}\theta+2\tau_{xy}\sin\theta\cos\theta,
\sigma_{y'}=\sigma_{x}\sin^{2}\theta+\sigma_{y}\cos^{2}\theta-2\tau_{xy}\sin\theta\cos\theta,
\tau_{x'y'}=(\sigma_{y}-\sigma_{x})\sin\theta\cos\theta+\tau_{xy}(\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta).
Explicando cada termo:
  • \sigma_{x} e \sigma_{y} são as tensões normais nas direções x e y no sistema original.
  • \tau_{xy} é a tensão de cisalhamento no plano xy no sistema original (aqui \tau_{xy}=\sigma_{xy}).
  • \theta é o ângulo de rotação dos eixos (positivo no sentido indicado).
    Essas fórmulas vêm diretamente da regra de transformação de tensores de segunda ordem sob mudança de base ortonormal; elas são as formas práticas para rotações no plano.
Observação sobre a componente z: como a rotação é em torno do eixo z, a componente \sigma_{zz} não se mistura com x e y (ou seja, \sigma_{z'z'}=\sigma_{zz}) e as tensões de cisalhamento envolvendo z permanecem zero se eram zero originalmente (porque não há componentes \sigma_{xz} ou \sigma_{yz} iniciais).

Passo 3

Aplicando as fórmulas com os valores do enunciado. Primeiro identifique os valores:
\sigma_{x}=0,7\\ \text{MPa},\qquad \sigma_{y}=0\\ \text{MPa},\qquad \tau_{xy}=0\\ \text{MPa}.
E o ângulo:
\theta=45^\circ,\qquad \cos45^\circ=\sin45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Calcule as quantidades trigonométricas úteis:
\cos^{2}45^\circ=\sin^{2}45^\circ=\frac{1}{2},\qquad \sin45^\circ\cos45^\circ=\frac{1}{2}.

Passo 4

Calcule \sigma_{x'}, \sigma_{y'} e \tau_{x'y'} passo a passo substituindo nas fórmulas:
Primeiro \sigma_{x'}:
\sigma_{x'}=\sigma_{x}\cos^{2}\theta+\sigma_{y}\sin^{2}\theta+2\tau_{xy}\sin\theta\cos\theta
\sigma_{x'}=0,7\cdot\frac{1}{2}+0\cdot\frac{1}{2}+2\cdot0\cdot\frac{1}{2}=0,7\cdot\frac{1}{2}=0,35\\ \text{MPa}.
Agora \sigma_{y'}:
\sigma_{y'}=\sigma_{x}\sin^{2}\theta+\sigma_{y}\cos^{2}\theta-2\tau_{xy}\sin\theta\cos\theta
\sigma_{y'}=0,7\cdot\frac{1}{2}+0\cdot\frac{1}{2}-2\cdot0\cdot\frac{1}{2}=0,35\\ \text{MPa}.
Agora \tau_{x'y'}:
\tau_{x'y'}=(\sigma_{y}-\sigma_{x})\sin\theta\cos\theta+\tau_{xy}(\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta)
\tau_{x'y'}=(0-0,7)\cdot\frac{1}{2}+0\cdot(0)= -0,7\cdot\frac{1}{2}= -0,35\\ \text{MPa}.
Explicação do sinal: o resultado negativo indica que, no novo sistema de eixos rotacionado conforme o enunciado (rotação positiva vista de +z para -z), a componente de cisalhamento x'y' tem sentido oposto ao sinal positivo adotado pela convenção das fórmulas.

Passo 5

Agora completamos o tensor 3D no novo sistema. Como explicado, \sigma_{z'z'}=\sigma_{zz}=2,1\\ \text{MPa} e as componentes mistas envolvendo z permanecem nulas ( \sigma_{x'z'}=\sigma_{y'z'}=0). Portanto o tensor no sistema rotacionado é
\overline{\bar{\Sigma}}'=\left(\begin{array}{ccc} 0,35 & -0,35 & 0 \\\\ -0,35 & 0,35 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2,1 \end{array}\right)\\ \text{MPa}.

Resposta

\overline{\bar{\Sigma}}'=\left(\begin{array}{ccc} 0,35 & -0,35 & 0 \\\\ -0,35 & 0,35 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2,1 \end{array}\right)\\ \text{MPa}

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