(1 ponto) A velocidade de uma partícula é dada por
, onde
é dado em segundos. Se a partícula está na origem quando
, determine a intensidade da aceleração da partícula quando
. Também, qual é a posição da partícula em coordenadas
neste instante? (Equivalente ao Problema 12.74 p. 35 )
Passo 1
O enunciado nos dá a velocidade da partícula e uma condição inicial, e pede duas coisas. Dados fornecidos (todos retirados do enunciado):
- A velocidade vetorial é
. - A partícula está na origem quando
(ou seja, ).
O que o enunciado pede:
- Determinar a intensidade (magnitude) da aceleração da partícula no instante
. - Determinar a posição da partícula (as coordenadas
) no instante .
Passo 2
Entendendo como obter a aceleração: a aceleração é a derivada temporal da velocidade. Em notação vetorial:
Isto significa que a derivada é tomada componente a componente. Relembrando a regra básica de derivação para potências: se
então
. Usamos essa regra para cada componente de
.
Derivando componente a componente:
Portanto a aceleração geral é
Passo 3
Avaliar a aceleração em
. Substituindo
em cada componente:
Assim
Passo 4
Calcular a intensidade (magnitude) da aceleração: para um vetor
a magnitude é dada por
Aplicando a fórmula em
:
Calculemos os termos:
logo
Fatorando
obtemos a forma simplificada
Em valor aproximado (para usar na prova se pedir número):
Passo 5
Agora vamos encontrar a posição
. A posição é a primitiva (integral) da velocidade:
. Integramos componente a componente. Regra básica de integração para potências:
.
Integrando cada componente de
:
Portanto a posição geral é
Passo 6
Usar a condição inicial
para determinar as constantes
. Avaliando em
:
logo
. Assim a posição simplificada é
Passo 7
Avaliar
em
. Calcule componente a componente:
Portanto a posição no instante
é
em metros (nas coordenadas
).