(1 ponto) A velocidade de uma partícula é dada por \vec{v}=\left\{9 t^{2} \hat{i}+2 t^{3} \hat{j}+(3 t+1) \hat{k}\right\} \mathrm{m} / \mathrm{s}, onde t é dado em segundos. Se a partícula está na origem quando t=0, determine a intensidade da aceleração da partícula quando t=3 \mathrm{~s}. Também, qual é a posição da partícula em coordenadas x, y, z neste instante? (Equivalente ao Problema 12.74 p. 35 )

Passo 1

O enunciado nos dá a velocidade da partícula e uma condição inicial, e pede duas coisas. Dados fornecidos (todos retirados do enunciado):
  • A velocidade vetorial é \vec{v}=\{9 t^{2}\,\hat{i}+2 t^{3}\,\hat{j}+(3 t+1)\,\hat{k}\}\\ \mathrm{m/s}.
  • A partícula está na origem quando t=0 (ou seja, \vec{r}(0)=\{0,0,0\}).
    O que o enunciado pede:
  1. Determinar a intensidade (magnitude) da aceleração da partícula no instante t=3\\ \mathrm{s}.
  2. Determinar a posição da partícula (as coordenadas x,y,z) no instante t=3\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Entendendo como obter a aceleração: a aceleração é a derivada temporal da velocidade. Em notação vetorial:
\vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}}{dt}.
Isto significa que a derivada é tomada componente a componente. Relembrando a regra básica de derivação para potências: se f(t)=t^{n} então \dfrac{d}{dt}t^{n}=n\,t^{n-1}. Usamos essa regra para cada componente de \vec{v}.
Derivando componente a componente:
\frac{d}{dt}\big(9 t^{2}\big)=9\cdot 2 t=18 t,
\frac{d}{dt}\big(2 t^{3}\big)=2\cdot 3 t^{2}=6 t^{2},
\frac{d}{dt}\big(3 t+1\big)=3.
Portanto a aceleração geral é
\vec{a}(t)=\{18 t\,\hat{i}+6 t^{2}\,\hat{j}+3\,\hat{k}\}\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 3

Avaliar a aceleração em t=3\\ \mathrm{s}. Substituindo t=3 em cada componente:
a_{x}(3)=18\cdot 3=54,
a_{y}(3)=6\cdot 3^{2}=6\cdot 9=54,
a_{z}(3)=3.
Assim
\vec{a}(3)=\{54\,\hat{i}+54\,\hat{j}+3\,\hat{k}\}\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 4

Calcular a intensidade (magnitude) da aceleração: para um vetor \vec{u}=\{u_{x},u_{y},u_{z}\} a magnitude é dada por
\|\vec{u}\|=\sqrt{u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}}.
Aplicando a fórmula em \vec{a}(3):
\|\vec{a}(3)\|=\sqrt{54^{2}+54^{2}+3^{2}}.
Calculemos os termos:
54^{2}=2916,\qquad 3^{2}=9,
logo
\|\vec{a}(3)\|=\sqrt{2916+2916+9}=\sqrt{5841}.
Fatorando 5841=9\cdot 649 obtemos a forma simplificada
\|\vec{a}(3)\|=3\sqrt{649}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Em valor aproximado (para usar na prova se pedir número):
3\sqrt{649}\approx 76,43\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 5

Agora vamos encontrar a posição \vec{r}(t). A posição é a primitiva (integral) da velocidade: \dfrac{d\vec{r}}{dt}=\vec{v}(t). Integramos componente a componente. Regra básica de integração para potências: \int t^{n}\,dt=\dfrac{t^{n+1}}{n+1}+C.
Integrando cada componente de \vec{v}:
\int 9 t^{2}\,dt=9\cdot\frac{t^{3}}{3}=3 t^{3}+C_{x},
\int 2 t^{3}\,dt=2\cdot\frac{t^{4}}{4}=\frac{1}{2}t^{4}+C_{y},
\int (3 t+1)\,dt=\frac{3}{2}t^{2}+t+C_{z}.
Portanto a posição geral é
\vec{r}(t)=\{3 t^{3}+C_{x}\,\hat{i}+\tfrac{1}{2}t^{4}+C_{y}\,\hat{j}+(\tfrac{3}{2}t^{2}+t+C_{z})\,\hat{k}\}\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Usar a condição inicial \vec{r}(0)=\{0,0,0\} para determinar as constantes C_{x},C_{y},C_{z}. Avaliando em t=0:
\vec{r}(0)=\{C_{x},C_{y},C_{z}\}=\{0,0,0\},
logo C_{x}=0,\;C_{y}=0,\;C_{z}=0. Assim a posição simplificada é
\vec{r}(t)=\{3 t^{3}\,\hat{i}+\tfrac{1}{2}t^{4}\,\hat{j}+(\tfrac{3}{2}t^{2}+t)\,\hat{k}\}\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Avaliar \vec{r}(t) em t=3\\ \mathrm{s}. Calcule componente a componente:
x(3)=3\cdot 3^{3}=3\cdot 27=81\\ \mathrm{m},
y(3)=\tfrac{1}{2}\cdot 3^{4}=\tfrac{1}{2}\cdot 81=40,5\\ \mathrm{m},
z(3)=\tfrac{3}{2}\cdot 3^{2}+3=\tfrac{3}{2}\cdot 9+3=13,5+3=16,5\\ \mathrm{m}.
Portanto a posição no instante t=3\\ \mathrm{s} é \{81,\;40,5,\;16,5\} em metros (nas coordenadas x,y,z).

Resposta

\|\vec{a}(3)\|=3\sqrt{649}\\ \mathrm{m/s^{2}}\approx 76,43\\ \mathrm{m/s^{2}}
\vec{r}(3)=\{x,y,z\}=\{81\\ \mathrm{m},\;40,5\\ \mathrm{m},\;16,5\\ \mathrm{m}\}

Exercícios relacionados