Classifique as afirmações abaixo em verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, justifique. Se falsa, dê um contra-exemplo
A função sucessão s: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} é sobrejetora.

Passo 1

O enunciado pede que se classifique a afirmação verdadeira ou falsa e que, se for verdadeira, se justifique; se for falsa, que se dê um contra‑exemplo. A afirmação é: “A função sucessão s:\mathbb{N}\to\mathbb{N} é sobrejetora.”
Informações dadas (e uma pequena clarificação necessária que não pede nada ao usuário):
  • A expressão “função sucessão” costuma significar a função sucessor definida por s(n)=n+1 para todo n\in\mathbb{N}. Vou usar essa definição: s(n)=n+1.
  • Há ambiguidade comum sobre o conjunto \mathbb{N}: algumas convenções tomam \mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\} e outras \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}. Vou tratar os dois casos porque a conclusão deve valer independentemente da convenção.

Passo 2

Definição clara do que é ser sobrejetora (surjetiva): uma função f:A\to B é sobrejetora se, e somente se,
\forall b\in B\;\exists a\in A\text{ tal que }f(a)=b.
Em palavras: todo elemento do contradomínio B precisa ser atingido por algum elemento do domínio A.

Passo 3

Estratégia para mostrar que a afirmação é falsa: basta encontrar um elemento de \mathbb{N} (do contradomínio) que não seja imagem de nenhum n\in\mathbb{N} pela função s. Esse elemento será um contra‑exemplo que prova que s não é sobrejetora.

Passo 4

Caso 1 — convenção \mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}.
Considere o elemento 0\in\mathbb{N}. Se existisse n\in\mathbb{N} com s(n)=0, teríamos
s(n)=n+1=0 \quad\Rightarrow\quad n=-1,
o que é impossível porque -1\notin\mathbb{N}. Logo, não existe n\in\mathbb{N} tal que s(n)=0. Portanto 0 não pertence à imagem de s, e assim s não é sobrejetora nesse caso.

Passo 5

Caso 2 — convenção \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}.
Considere o elemento 1\in\mathbb{N}. Se existisse n\in\mathbb{N} com s(n)=1, teríamos
s(n)=n+1=1 \quad\Rightarrow\quad n=0,
o que é impossível porque 0\notin\mathbb{N} nesta convenção. Logo, não existe n\in\mathbb{N} tal que s(n)=1. Portanto 1 não pertence à imagem de s, e assim s não é sobrejetora nesse caso também.

Passo 6

Conclusão: em qualquer convenção usual para \mathbb{N} (começando em 0 ou em 1), existe pelo menos um elemento de \mathbb{N} que não é imagem de nenhum elemento pelo sucessor s(n)=n+1. Portanto a afirmação “A função sucessão s:\mathbb{N}\to\mathbb{N} é sobrejetora” é falsa, e um contra‑exemplo explícito é:
  • se \mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}, o contra‑exemplo é 0;
  • se \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}, o contra‑exemplo é 1.

Resposta

Falsa

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