Classifique as afirmações abaixo em verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, justifique. Se falsa, dê um contra-exemplo
A função sucessão
é sobrejetora.
A função sucessão
Passo 1
O enunciado pede que se classifique a afirmação é sobrejetora.”
Informações dadas (e uma pequena clarificação necessária que não pede nada ao usuário):
verdadeira ou falsa e que, se for verdadeira, se justifique; se for falsa, que se dê um contra‑exemplo. A afirmação é: “A função sucessão
Informações dadas (e uma pequena clarificação necessária que não pede nada ao usuário):
- A expressão “função sucessão” costuma significar a função sucessor definida por
para todo . Vou usar essa definição: . - Há ambiguidade comum sobre o conjunto
: algumas convenções tomam e outras . Vou tratar os dois casos porque a conclusão deve valer independentemente da convenção.
Passo 2
Definição clara do que é ser sobrejetora (surjetiva): uma função
é sobrejetora se, e somente se,
Em palavras: todo elemento do contradomínio
precisa ser atingido por algum elemento do domínio
.
Passo 3
Estratégia para mostrar que a afirmação é falsa: basta encontrar um elemento de
(do contradomínio) que não seja imagem de nenhum
pela função
. Esse elemento será um contra‑exemplo que prova que
não é sobrejetora.
Passo 4
Caso 1 — convenção
.
Considere o elemento . Se existisse
com
, teríamos
Considere o elemento
o que é impossível porque
. Logo, não existe
tal que
. Portanto
não pertence à imagem de
, e assim
não é sobrejetora nesse caso.
Passo 5
Caso 2 — convenção
.
Considere o elemento . Se existisse
com
, teríamos
Considere o elemento
o que é impossível porque
nesta convenção. Logo, não existe
tal que
. Portanto
não pertence à imagem de
, e assim
não é sobrejetora nesse caso também.
Passo 6
Conclusão: em qualquer convenção usual para
(começando em
ou em
), existe pelo menos um elemento de
que não é imagem de nenhum elemento pelo sucessor
. Portanto a afirmação “A função sucessão
é sobrejetora” é falsa, e um contra‑exemplo explícito é:
- se
, o contra‑exemplo é ; - se
, o contra‑exemplo é .
Resposta
Falsa