(1 ponto) Utilize a definição de limite e prove que
.
Passo 1
O enunciado pede para usar a definição ε–δ de limite para mostrar que quando x se aproxima de 1 a expressão 5x–3 se aproxima de 2. O conteúdo aqui é limite de função em um ponto e a ferramenta principal é a definição formal: para todo ε>0 existe δ>0 tal que |x–1|<δ implica |f(x)–L|<ε.
Passo 2
A definição de limite diz: seja f(x)=5x–3 e L=2. Precisamos provar que para todo ε>0 existe δ>0 tal que, se |x–1|<δ, então |f(x)–L|<ε.
Começamos simplificando a diferença entre f(x) e L. Temos
Começamos simplificando a diferença entre f(x) e L. Temos
Passo 3
Para controlar |f(x)–L| e torná-lo menor que ε, basta escolher δ de forma a satisfazer 5|x–1|<ε. Isso sugere tomar
Passo 4
Agora fazemos a prova formal: seja ε>0. Defina δ=ε/5. Se |x–1|<δ, então
Portanto, atendida a condição |x–1|<δ, obtemos |f(x)–L|<ε, o que demonstra pela definição que o limite é 2.