(1 ponto) Utilize a definição de limite e prove que lim x 1(5 x-3)=2.

Passo 1

O enunciado pede para usar a definição ε–δ de limite para mostrar que quando x se aproxima de 1 a expressão 5x–3 se aproxima de 2. O conteúdo aqui é limite de função em um ponto e a ferramenta principal é a definição formal: para todo ε>0 existe δ>0 tal que |x–1|<δ implica |f(x)–L|<ε.

Passo 2

A definição de limite diz: seja f(x)=5x–3 e L=2. Precisamos provar que para todo ε>0 existe δ>0 tal que, se |x–1|<δ, então |f(x)–L|<ε.
Começamos simplificando a diferença entre f(x) e L. Temos
|f(x)-L| = |(5x-3)-2| = |5x-5| = 5,|x-1|.

Passo 3

Para controlar |f(x)–L| e torná-lo menor que ε, basta escolher δ de forma a satisfazer 5|x–1|<ε. Isso sugere tomar
de.

Passo 4

Agora fazemos a prova formal: seja ε>0. Defina δ=ε/5. Se |x–1|<δ, então
|f(x)-L| = 5|x-1| < 5,de.
Portanto, atendida a condição |x–1|<δ, obtemos |f(x)–L|<ε, o que demonstra pela definição que o limite é 2.

Resposta

limx 1(5x-3)=2.

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