Um oscilador harmônico consiste em um bloco de massa, cuja amplitude de movimento é 2 m , com fase inicial de
, e frequência de oscilação igual a 1 s . Obtenha:
a)A equação da posição do oscilador em função do tempo;
b) A equação da velocidade do oscilador em função do tempo;
c) A equação da aceleração do oscilador em função do tempo;
d) A equação da aceleração do oscilador em função da posição;
a)A equação da posição do oscilador em função do tempo;
b) A equação da velocidade do oscilador em função do tempo;
c) A equação da aceleração do oscilador em função do tempo;
d) A equação da aceleração do oscilador em função da posição;
Passo 1
O que o enunciado dá (informações relevantes que vou usar):
- Amplitude:
m. - Fase inicial:
. Vou converter para radianos quando precisar. - "Frequência de oscilação igual a
" — interpretarei isso como frequência (ou seja, ). Se o autor quis dizer o período, teria escrito ; aqui assumo .
O que se pede:
(a) a equação da posição;
(b) a equação da velocidade;
(c) a equação da aceleração;
(d) a expressão da aceleração em função da posição.
Passo 2
Fórmula padrão que vou usar (forma mais comum quando a fase inicial é dada): a posição de um movimento harmônico simples pode ser escrita como
onde:
-
é a posição em função do tempo; -
é a amplitude (valor máximo de ); -
é a frequência angular (em rad/s); -
é a fase inicial (em radianos).
Explicação curta: escolhi a forma com cosseno porque a fase inicialdada serve diretamente nessa representação — é o ângulo dentro do cosseno quando .
Passo 3
Converter a fase inicial para radianos:
Calcular a frequência angular
a partir da frequência
:
Como
, temos
Curto lembrete didático:
diz quantos radianos o argumento
“varre” por segundo; para
volta completa por segundo,
.
Passo 4
Substituir
,
e
em
:
Verificação rápida (útil na prova): posição inicial
Passo 5
Velocidade: derivar
em relação a
. Regra usada: se
então, pela regra da cadeia, a derivada é
Aplicando os números
e
:
Explicação didática da cadeia: ao derivar
temos
. Aqui
e
.
Passo 6
Aceleração: derivar
ou derivar
duas vezes. Usando a derivada de
:
Como
, obtemos
Substituindo
e
:
Pequena observação: numericamente a forma explícita em função do tempo é essa, e note que
tem o mesmo cosseno de
com sinal invertido multiplicado por
.
Passo 7
Aceleração em função da posição: relacionando
e
. Partindo de
vemos que
Portanto, como função da posição
(eliminando
),
Substituindo
:
Interpretação curta: a aceleração é linearmente proporcional a
; é essa lei (força/restauração proporcional a
) que caracteriza o movimento harmônico simples.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)