Um oscilador harmônico consiste em um bloco de massa, cuja amplitude de movimento é 2 m , com fase inicial de 30^{\circ}, e frequência de oscilação igual a 1 s . Obtenha:
a)A equação da posição do oscilador em função do tempo;
b) A equação da velocidade do oscilador em função do tempo;
c) A equação da aceleração do oscilador em função do tempo;
d) A equação da aceleração do oscilador em função da posição;

Passo 1

O que o enunciado dá (informações relevantes que vou usar):
  • Amplitude: A = 2 m.
  • Fase inicial: \phi_{0} = 30^\circ. Vou converter para radianos quando precisar.
  • "Frequência de oscilação igual a 1\\ \text{s}" — interpretarei isso como frequência f = 1\\ \text{Hz} (ou seja, 1\\ \text{s}^{-1}). Se o autor quis dizer o período, teria escrito T=1\\ \text{s}; aqui assumo f=1\\ \text{Hz}.
    O que se pede:
    (a) a equação da posição x(t);
    (b) a equação da velocidade v(t);
    (c) a equação da aceleração a(t);
    (d) a expressão da aceleração em função da posição a(x).

Passo 2

Fórmula padrão que vou usar (forma mais comum quando a fase inicial é dada): a posição de um movimento harmônico simples pode ser escrita como
x(t)=A\cos\bigl(\omega t+\phi_{0}\bigr),
onde:
  • x(t) é a posição em função do tempo;
  • A é a amplitude (valor máximo de |x|);
  • \omega é a frequência angular (em rad/s);
  • \phi_{0} é a fase inicial (em radianos).
    Explicação curta: escolhi a forma com cosseno porque a fase inicial \phi_{0} dada serve diretamente nessa representação — é o ângulo dentro do cosseno quando t=0.

Passo 3

Converter a fase inicial para radianos:
\phi_{0}=30^\circ=\frac{\pi}{6}\\ \text{rad}.
Calcular a frequência angular \omega a partir da frequência f:
\omega=2\pi f.
Como f=1\\ \text{Hz}, temos
\omega=2\pi\cdot 1=2\pi\\ \text{rad/s}.
Curto lembrete didático: \omega diz quantos radianos o argumento (\omega t+\phi_{0}) “varre” por segundo; para f=1 volta completa por segundo, \omega=2\pi.

Passo 4

Substituir A, \omega e \phi_{0} em x(t):
x(t)=2\cos\bigl(2\pi t+\tfrac{\pi}{6}\bigr)\\ \text{m}.
Verificação rápida (útil na prova): posição inicial x(0)=2\cos(\pi/6)=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\\ \text{m}\approx1{,}732\\ \text{m}.

Passo 5

Velocidade: derivar x(t) em relação a t. Regra usada: se x(t)=A\cos(\omega t+\phi_{0}) então, pela regra da cadeia, a derivada é
v(t)=\frac{dx}{dt}=-A\omega\sin\bigl(\omega t+\phi_{0}\bigr).
Aplicando os números A=2 e \omega=2\pi:
v(t)=-2\cdot(2\pi)\sin\bigl(2\pi t+\tfrac{\pi}{6}\bigr)=-4\pi\sin\bigl(2\pi t+\tfrac{\pi}{6}\bigr)\\ \text{m/s}.
Explicação didática da cadeia: ao derivar \cos(u) temos -\sin(u)\cdot u'. Aqui u=\omega t+\phi_{0} e u'=\omega.

Passo 6

Aceleração: derivar v(t) ou derivar x(t) duas vezes. Usando a derivada de v(t):
a(t)=\frac{dv}{dt}=-A\omega\cdot\frac{d}{dt}\Bigl[\sin(\omega t+\phi_{0})\Bigr].
Como \frac{d}{dt}\sin(u)=\cos(u)\,u', obtemos
a(t)=-A\omega\cdot\bigl(\omega\cos(\omega t+\phi_{0})\bigr)=-A\omega^{2}\cos(\omega t+\phi_{0}).
Substituindo A=2 e \omega=2\pi:
a(t)=-2\,(2\pi)^{2}\cos\bigl(2\pi t+\tfrac{\pi}{6}\bigr)=-8\pi^{2}\cos\bigl(2\pi t+\tfrac{\pi}{6}\bigr)\\ \text{m/s}^{2}.
Pequena observação: numericamente a forma explícita em função do tempo é essa, e note que a(t) tem o mesmo cosseno de x(t) com sinal invertido multiplicado por \omega^{2}.

Passo 7

Aceleração em função da posição: relacionando a(t) e x(t). Partindo de
x(t)=A\cos(\omega t+\phi_{0}) \quad\text{e}\quad a(t)=-A\omega^{2}\cos(\omega t+\phi_{0}),
vemos que
a(t)=-\omega^{2}x(t).
Portanto, como função da posição x (eliminando t),
a(x)=-\omega^{2}x.
Substituindo \omega=2\pi:
a(x)=-\bigl(2\pi\bigr)^{2}x=-4\pi^{2}x\\ \text{m/s}^{2}.
Interpretação curta: a aceleração é linearmente proporcional a -x; é essa lei (força/restauração proporcional a -x) que caracteriza o movimento harmônico simples.

Resposta

(a) x(t)=2\cos\bigl(2\pi t+\tfrac{\pi}{6}\bigr)\\ \text{m}
(b) v(t)=-4\pi\sin\bigl(2\pi t+\tfrac{\pi}{6}\bigr)\\ \text{m/s}
(c) a(t)=-8\pi^{2}\cos\bigl(2\pi t+\tfrac{\pi}{6}\bigr)\\ \text{m/s}^{2}
(d) a(x)=-4\pi^{2}x\\ \text{m/s}^{2}

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