(1,0 ponto) Questāo 1 - No contexto da dinâmica relativística, obtenha a expressão que compara o aumento relativo da velocidade com o correspondente aumento relativo do momento linear (quantidade de movimento). Ou seja, uma relação entre \mathrm{d} p / p e \mathrm{d} v / v.

Passo 1

O enunciado pede: obter uma expressão que relacione o aumento relativo do momento linear com o aumento relativo da velocidade, ou seja, uma relação entre \mathrm{d}p/p e \mathrm{d}v/v.
Informações e notações que vamos usar (todas dadas ou natural no contexto):
  • A massa de repouso é m (constante).
  • A velocidade do corpo é v.
  • A velocidade da luz é c (constante).
  • O momento relativístico é dado por p = m\gamma v, onde \gamma é o fator de Lorentz definido abaixo.
  • O fator de Lorentz é \displaystyle \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}}.

Passo 2

Primeiro vamos escrever a expressão do momento e preparar sua diferenciação. Escrevendo explicitamente:
p = m \gamma v.
Como m é constante, a variação diferencial \mathrm{d}p vem apenas de \gamma e de v. Usamos a regra do produto:
\mathrm{d}p = m\,\mathrm{d}(\gamma v) = m\bigl(\gamma\,\mathrm{d}v + v\,\mathrm{d}\gamma\bigr).
Agora precisamos de \mathrm{d}\gamma em função de \mathrm{d}v. Vamos derivar \gamma em relação a v.

Passo 3

Calculemos \mathrm{d}\gamma/\mathrm{d}v. Partimos de
\gamma = (1 - v^{2}/c^{2})^{-1/2}.
Usando a regra da cadeia:
\frac{\mathrm{d}\gamma}{\mathrm{d}v} = -\tfrac{1}{2}(1 - v^{2}/c^{2})^{-3/2}\cdot\left(-\frac{2v}{c^{2}}\right) = \gamma^{3}\frac{v}{c^{2}}.
Portanto
\mathrm{d}\gamma = \gamma^{3}\frac{v}{c^{2}}\,\mathrm{d}v.

Passo 4

Substituindo \mathrm{d}\gamma em \mathrm{d}p:
\mathrm{d}p = m\Bigl(\gamma\,\mathrm{d}v + v\cdot \gamma^{3}\frac{v}{c^{2}}\,\mathrm{d}v\Bigr) = m\gamma\,\mathrm{d}v\Bigl(1 + \gamma^{2}\frac{v^{2}}{c^{2}}\Bigr).
Agora simplificamos o fator entre parênteses. Observe que
1 + \gamma^{2}\frac{v^{2}}{c^{2}} = 1 + \frac{v^{2}/c^{2}}{1 - v^{2}/c^{2}} = \frac{1 - v^{2}/c^{2} + v^{2}/c^{2}}{1 - v^{2}/c^{2}} = \frac{1}{1 - v^{2}/c^{2}} = \gamma^{2}.
Logo
\mathrm{d}p = m\gamma\,\mathrm{d}v\cdot \gamma^{2} = m\gamma^{3}\,\mathrm{d}v.

Passo 5

Agora dividimos por p = m\gamma v para obter a variação relativa:
\frac{\mathrm{d}p}{p} = \frac{m\gamma^{3}\,\mathrm{d}v}{m\gamma v} = \gamma^{2}\,\frac{\mathrm{d}v}{v}.
Escrevendo \gamma^{2} explicitamente:
\frac{\mathrm{d}p}{p} = \frac{1}{1 - v^{2}/c^{2}}\;\frac{\mathrm{d}v}{v}.

Passo 6

Interpretação prática e limites (para motivar memorização):
  • Para velocidades não relativísticas v\ll c, \gamma\approx 1 e então \mathrm{d}p/p \approx \mathrm{d}v/v: aumento relativo do momento ≈ aumento relativo da velocidade.
  • Para velocidades próximas de c, \gamma\gg 1 e a mesma pequena fração \mathrm{d}v/v causa um aumento relativo de p muito maior: \mathrm{d}p/p \approx \gamma^{2}\,\mathrm{d}v/v. Por exemplo, para v=0{,}8c tem-se \gamma\approx 1{,}667 e \gamma^{2}\approx 2{,}78, então \mathrm{d}p/p\approx 2{,}78\,\mathrm{d}v/v.
Força um pouco de ânimo: essa relação é curta e muito útil em problemas de dinâmica relativística — decore \mathrm{d}p/p=\gamma^{2}\,\mathrm{d}v/v e lembre da origem quando precisar usar.

Resposta

\displaystyle \frac{\mathrm{d}p}{p}=\gamma^{2}\,\frac{\mathrm{d}v}{v}=\frac{1}{1-v^{2}/c^{2}}\,\frac{\mathrm{d}v}{v}

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