(1,0 ponto) Questāo 1 - No contexto da dinâmica relativística, obtenha a expressão que compara o aumento relativo da velocidade com o correspondente aumento relativo do momento linear (quantidade de movimento). Ou seja, uma relação entre
e
.
Passo 1
O enunciado pede: obter uma expressão que relacione o aumento relativo do momento linear com o aumento relativo da velocidade, ou seja, uma relação entre
e
.
Informações e notações que vamos usar (todas dadas ou natural no contexto):
- A massa de repouso é
(constante). - A velocidade do corpo é
. - A velocidade da luz é
(constante). - O momento relativístico é dado por
, onde é o fator de Lorentz definido abaixo. - O fator de Lorentz é
Passo 2
Primeiro vamos escrever a expressão do momento e preparar sua diferenciação. Escrevendo explicitamente:
Como
é constante, a variação diferencial
vem apenas de
e de
. Usamos a regra do produto:
Agora precisamos de
em função de
. Vamos derivar
em relação a
.
Passo 3
Calculemos
. Partimos de
Usando a regra da cadeia:
Portanto
Passo 4
Substituindo
em
:
Agora simplificamos o fator entre parênteses. Observe que
Logo
Passo 5
Agora dividimos por
para obter a variação relativa:
Escrevendo
explicitamente:
Passo 6
Interpretação prática e limites (para motivar memorização):
- Para velocidades não relativísticas
, e então : aumento relativo do momento ≈ aumento relativo da velocidade. - Para velocidades próximas de
, e a mesma pequena fração causa um aumento relativo de muito maior: . Por exemplo, para tem-se e , então .
Força um pouco de ânimo: essa relação é curta e muito útil em problemas de dinâmica relativística — decore
e lembre da origem quando precisar usar.