Dois trens, em movimento retilineo, viajam, na mesma direçāo, em sentidos opostos, um \Perp 70 \mathrm{~km} / \mathrm{h} e o outro a 140 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Quando estāo a 1 km um do outro, os maquinistas se avistam e aplicam os freios. Utilizando as leis horarias dos movimentos de cada trern, demostre se haverá colisïo ou nāo, sabendo-se que a desaceleração de cada trem é de 1,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede para decidir se haverá colisão quando os maquinistas freiam imediatamente:
  • Velocidade do trem A: 70\\ \mathrm{km/h}.
  • Velocidade do trem B: 140\\ \mathrm{km/h}.
  • Sentidos opostos (logo eles se aproximam um do outro).
  • Distância inicial entre os trens: 1\\ \mathrm{km}.
  • Desaceleração (módulo) de cada trem: 1{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Pergunta: haverá colisão ou não?
Todas as informações relevantes estão acima; a partir daqui vamos transformar unidades e usar as leis horárias (cinemática com aceleração constante) para responder.

Passo 2

Primeiro converto as velocidades para o SI (metros por segundo), porque a desaceleração está em \mathrm{m/s^{2}}.
Conversão geral: 1\\ \mathrm{km/h} = \dfrac{1000}{3600}\\ \mathrm{m/s}=\dfrac{5}{18}\\ \mathrm{m/s}.
  • Velocidade do trem A:
v_A = 70\\ \mathrm{km/h} = 70\cdot\dfrac{5}{18}\\ \mathrm{m/s} = \dfrac{350}{18}\\ \mathrm{m/s}=\dfrac{175}{9}\\ \mathrm{m/s}\approx 19,444\\ \mathrm{m/s}.
  • Velocidade do trem B:
v_B = 140\\ \mathrm{km/h} = 140\cdot\dfrac{5}{18}\\ \mathrm{m/s} = \dfrac{700}{18}\\ \mathrm{m/s}=\dfrac{350}{9}\\ \mathrm{m/s}\approx 38,889\\ \mathrm{m/s}.
A distância inicial em metros é
d_0 = 1\\ \mathrm{km} = 1000\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Agora explico as fórmulas de cinemática constantes que vamos usar (aquelas que a prova costuma cobrar). Para movimento com aceleração constante a e velocidade inicial v_0, a velocidade em função do tempo é
v(t)=v_0 + a\,t,
e a posição (deslocamento) é
s(t)=v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2,
onde t é o tempo desde o início da frenagem, v_0 é a velocidade inicial (positiva no sentido do movimento) e a é a aceleração (aqui a<0 porque é desaceleração).
Para achar a distância de frenagem (a distância que o trem percorre até parar), é frequente usar a relação obtida eliminando t. Integrando ou manipulando as equações chega-se à fórmula
v^2 = v_0^2 + 2 a s,
onde v é a velocidade final após deslocamento s. Para a frenagem até parar, v=0, portanto a distância de frenagem s_{\mathrm{freio}} satisfaz
0 = v_0^2 + 2 a s_{\mathrm{freio}} \quad\Rightarrow\quad s_{\mathrm{freio}} = -\dfrac{v_0^2}{2a}.
Aqui a é negativo (desaceleração). Para evitar confusão com sinal, como o enunciado deu o módulo da desaceleração 1{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}}, podemos usar
s_{\mathrm{freio}}=\dfrac{v_0^2}{2\,|a|}.
Também o tempo até parar é
t_{\mathrm{stop}}=\dfrac{v_0}{|a|},
obtido de 0=v_0-|a|t.
Vou aplicar estas fórmulas aos dois trens.

Passo 4

Calculo os tempos de parada:
  • Para o trem A:
t_A=\dfrac{v_A}{|a|}=\dfrac{\tfrac{175}{9}}{1{,}0}=\dfrac{175}{9}\\ \mathrm{s}\approx 19{,}444\\ \mathrm{s}.
  • Para o trem B:
t_B=\dfrac{v_B}{|a|}=\dfrac{\tfrac{350}{9}}{1{,}0}=\dfrac{350}{9}\\ \mathrm{s}\approx 38{,}889\\ \mathrm{s}.
Esses são os tempos que cada trem leva para parar depois que começam a frear.

Passo 5

Calculo as distâncias de frenagem usando s=\dfrac{v_0^2}{2|a|}.
  • Para o trem A:
s_A=\dfrac{v_A^2}{2\cdot 1{,}0}=\dfrac{\left(\dfrac{175}{9}\right)^2}{2}=\dfrac{30625}{162}\\ \mathrm{m}\approx 189{,}043\\ \mathrm{m}.
(Detalhe do cálculo: \left(\dfrac{175}{9}\right)^2=\dfrac{30625}{81}; dividindo por 2 \dfrac{30625}{162}.)
  • Para o trem B:
s_B=\dfrac{v_B^2}{2\cdot 1{,}0}=\dfrac{\left(\dfrac{350}{9}\right)^2}{2}=\dfrac{122500}{162}\\ \mathrm{m}\approx 756{,}173\\ \mathrm{m}.
(Similarmente: \left(\dfrac{350}{9}\right)^2=\dfrac{122500}{81}; dividindo por 2 \dfrac{122500}{162}.)

Passo 6

Se os trens freiam no mesmo instante e cada um percorre até parar a distância calculada, então o total de aproximação até que ambos estejam parados é
s_{\mathrm{total}} = s_A + s_B \approx 189{,}043\\ \mathrm{m} + 756{,}173\\ \mathrm{m} = 945{,}216\\ \mathrm{m}.
Comparando com a separação inicial d_0=1000\\ \mathrm{m}, vemos que
s_{\mathrm{total}} = 945{,}216\\ \mathrm{m} < 1000\\ \mathrm{m}.
Ou seja, a soma das distâncias que os trens percorrem até parar é menor do que a distância que os separa inicialmente.
A folga (distância remanescente entre os trens depois de parados) é
\Delta = d_0 - s_{\mathrm{total}} \approx 1000\\ \mathrm{m} - 945{,}216\\ \mathrm{m} = 54{,}784\\ \mathrm{m}\approx 54{,}8\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Interpretação final: como a soma das distâncias de frenagem é menor que a separação inicial, os trens param antes de se encontrarem. Portanto não há colisão; restará uma folga de aproximadamente 54{,}8\\ \mathrm{m} entre eles após a frenagem.

Resposta

Não haverá colisão; sobra aproximadamente 54{,}8\\ \mathrm{m} entre os trens após a frenagem.

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