Dois trens, em movimento retilineo, viajam, na mesma direçāo, em sentidos opostos, um
e o outro a
. Quando estāo a 1 km um do outro, os maquinistas se avistam e aplicam os freios. Utilizando as leis horarias dos movimentos de cada trern, demostre se haverá colisïo ou nāo, sabendo-se que a desaceleração de cada trem é de
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede para decidir se haverá colisão quando os maquinistas freiam imediatamente:
- Velocidade do trem A:
. - Velocidade do trem B:
. - Sentidos opostos (logo eles se aproximam um do outro).
- Distância inicial entre os trens:
. - Desaceleração (módulo) de cada trem:
. - Pergunta: haverá colisão ou não?
Todas as informações relevantes estão acima; a partir daqui vamos transformar unidades e usar as leis horárias (cinemática com aceleração constante) para responder.
Passo 2
Primeiro converto as velocidades para o SI (metros por segundo), porque a desaceleração está em
.
Conversão geral:
.
- Velocidade do trem A:
- Velocidade do trem B:
A distância inicial em metros é
Passo 3
Agora explico as fórmulas de cinemática constantes que vamos usar (aquelas que a prova costuma cobrar). Para movimento com aceleração constante
e velocidade inicial
, a velocidade em função do tempo é
e a posição (deslocamento) é
onde
é o tempo desde o início da frenagem,
é a velocidade inicial (positiva no sentido do movimento) e
é a aceleração (aqui
porque é desaceleração).
Para achar a distância de frenagem (a distância que o trem percorre até parar), é frequente usar a relação obtida eliminando
. Integrando ou manipulando as equações chega-se à fórmula
onde
é a velocidade final após deslocamento
. Para a frenagem até parar,
, portanto a distância de frenagem
satisfaz
Aqui
é negativo (desaceleração). Para evitar confusão com sinal, como o enunciado deu o módulo da desaceleração
, podemos usar
Também o tempo até parar é
obtido de
.
Vou aplicar estas fórmulas aos dois trens.
Passo 4
Calculo os tempos de parada:
- Para o trem A:
- Para o trem B:
Esses são os tempos que cada trem leva para parar depois que começam a frear.
Passo 5
Calculo as distâncias de frenagem usando
.
- Para o trem A:
(Detalhe do cálculo:
; dividindo por
dá
.)
- Para o trem B:
(Similarmente:
; dividindo por
dá
.)
Passo 6
Se os trens freiam no mesmo instante e cada um percorre até parar a distância calculada, então o total de aproximação até que ambos estejam parados é
Comparando com a separação inicial
, vemos que
Ou seja, a soma das distâncias que os trens percorrem até parar é menor do que a distância que os separa inicialmente.
A folga (distância remanescente entre os trens depois de parados) é
Passo 7
Interpretação final: como a soma das distâncias de frenagem é menor que a separação inicial, os trens param antes de se encontrarem. Portanto não há colisão; restará uma folga de aproximadamente
entre eles após a frenagem.
Resposta
Não haverá colisão; sobra aproximadamente
entre os trens após a frenagem.