(2,0 pontos) Questão 3 -
a) (1,5 pontos) A partir das definições de momento linear relativistico (p=m v) e da energia total relativistica ( \boldsymbol{E}=\boldsymbol{m} \mathbf{c}^{\mathbf{2}} ), obtenha a seguinte expressão: \boldsymbol{E}=c \sqrt{m_{0}^{2} c^{2}+p^{2}}.
b) ( \mathbf{0 , 5} ponto) Para o caso de um fóton, a expressão final da letra “a)” terá que forma final?

Passo 1

O enunciado dá duas definições (usando a noção de massa relativística m):
  • momento linear relativístico: p = m v.
  • energia total relativística: E = m c^{2}.
Pede-se:
(a) a partir dessas definições obter a expressão E = c \sqrt{m_{0}^{2} c^{2} + p^{2}} (onde m_{0} é a massa de repouso).
(b) no caso de um fóton, qual a forma final da expressão obtida na letra (a).
As informações relevantes fornecidas são exatamente as duas fórmulas acima e a existência da massa de repouso m_{0} (que se relaciona com a massa relativística m). A resolução começará a partir dessas relações.

Passo 2

Explicar as massas e a fator \gamma (fórmula que usaremos).
  • A massa m nas fórmulas dadas é a chamada massa relativística, que depende da velocidade v.
  • A massa de repouso é \,m_{0}.
  • A relação entre elas é
m=\gamma m_{0},
onde
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.
Vou usar essa relação para conectar m com m_{0}. (Observação rápida e amigável: hoje em dia muitos preferem evitar o conceito de “massa relativística” e escrever p=\gamma m_{0} v e E=\gamma m_{0} c^{2}, mas aqui estou seguindo exatamente as fórmulas iniciais p=m v e E=m c^{2}.)

Passo 3

Quadrar E e p para organizar uma combinação que elimine v.
Começo por escrever
E^{2}=m^{2}c^{4}
e
p^{2}=m^{2}v^{2}.
Multiplico a segunda pela constante c^{2} para igualar dimensões com E^{2}:
p^{2}c^{2}=m^{2}v^{2}c^{2}.

Passo 4

Formar a combinação E^{2}-p^{2}c^{2} para eliminar a dependência quadrática em m e v:
E^{2}-p^{2}c^{2}=m^{2}c^{4}-m^{2}v^{2}c^{2}.
Fatorando m^{2}c^{2} do lado direito:
E^{2}-p^{2}c^{2}=m^{2}c^{2}\bigl(c^{2}-v^{2}\bigr).
Reescrevendo c^{2}-v^{2}=c^{2}\bigl(1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}\bigr)
E^{2}-p^{2}c^{2}=m^{2}c^{4}\left(1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}\right).

Passo 5

Substituir a relação entre m e m_{0} para transformar a expressão em algo que envolva m_{0}.
Da definição m=\gamma m_{0} temos
m^{2}=\frac{m_{0}^{2}}{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}.
Multiplicando ambos os lados dessa igualdade por \left(1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}\right) obtemos a identidade útil
m^{2}\left(1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}\right)=m_{0}^{2}.
Agora retorno à expressão do passo anterior e uso essa identidade:
E^{2}-p^{2}c^{2}=m^{2}c^{4}\left(1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}\right)=m_{0}^{2}c^{4}.

Passo 6

Reorganizar para obter a forma desejada. A igualdade do passo anterior dá
E^{2}=p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}.
Tomando a raiz quadrada (escolhendo a raiz positiva para a energia total E\ge 0):
E=\sqrt{p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}}.
Factorizando um c fora da raiz:
E=c\sqrt{p^{2}+m_{0}^{2}c^{2}}.
Reescrevendo a soma dentro da raiz na ordem pedida no enunciado (somando o termo com m_{0}^{2}c^{2} primeiro) chega-se exatamente a
E=c\sqrt{m_{0}^{2}c^{2}+p^{2}}.
Essa é a expressão solicitada na letra (a). (Breve comentário de motivação: a combinação E^{2}-p^{2}c^{2} é invariante de Lorentz e igual a m_{0}^{2}c^{4}, por isso essa forma aparece sempre.)

Passo 7

Resposta para a letra (b): caso do fóton.
  • Para um fóton a massa de repouso é nula: m_{0}=0.
  • Substituindo m_{0}=0 na expressão final da letra (a) obtém-se
E=c\sqrt{0+p^{2}}=c\,|p|.
Como usualmente tomamos p como módulo do momento para a energia, isso dá a forma simples
E=pc.
(Isto coincide com a relação bem conhecida para fótons: p=E/c.)

Resposta

(a) E=c\sqrt{m_{0}^{2}c^{2}+p^{2}}
(b) E=pc

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