(2,0 pontos) Questão 3 -
a) (1,5 pontos) A partir das definições de momento linear relativistico
e da energia total relativistica (
), obtenha a seguinte expressão:
.
b) (
ponto) Para o caso de um fóton, a expressão final da letra “a)” terá que forma final?
a) (1,5 pontos) A partir das definições de momento linear relativistico
b) (
Passo 1
O enunciado dá duas definições (usando a noção de massa relativística
):
- momento linear relativístico:
. - energia total relativística:
.
Pede-se:
(a) a partir dessas definições obter a expressão (onde
é a massa de repouso).
(b) no caso de um fóton, qual a forma final da expressão obtida na letra (a).
(a) a partir dessas definições obter a expressão
(b) no caso de um fóton, qual a forma final da expressão obtida na letra (a).
As informações relevantes fornecidas são exatamente as duas fórmulas acima e a existência da massa de repouso
(que se relaciona com a massa relativística
). A resolução começará a partir dessas relações.
Passo 2
Explicar as massas e a fator
(fórmula que usaremos).
- A massa
nas fórmulas dadas é a chamada massa relativística, que depende da velocidade . - A massa de repouso é
. - A relação entre elas é
onde
Vou usar essa relação para conectar
com
. (Observação rápida e amigável: hoje em dia muitos preferem evitar o conceito de “massa relativística” e escrever
e
, mas aqui estou seguindo exatamente as fórmulas iniciais
e
.)
Passo 3
Quadrar
e
para organizar uma combinação que elimine
.
Começo por escrever
Começo por escrever
e
Multiplico a segunda pela constante
para igualar dimensões com
:
Passo 4
Formar a combinação
para eliminar a dependência quadrática em
e
:
Fatorando
do lado direito:
Reescrevendo
dá
Passo 5
Substituir a relação entre
e
para transformar a expressão em algo que envolva
.
Da definição temos
Da definição
Multiplicando ambos os lados dessa igualdade por
obtemos a identidade útil
Agora retorno à expressão do passo anterior e uso essa identidade:
Passo 6
Reorganizar para obter a forma desejada. A igualdade do passo anterior dá
Tomando a raiz quadrada (escolhendo a raiz positiva para a energia total
):
Factorizando um
fora da raiz:
Reescrevendo a soma dentro da raiz na ordem pedida no enunciado (somando o termo com
primeiro) chega-se exatamente a
Essa é a expressão solicitada na letra (a). (Breve comentário de motivação: a combinação
é invariante de Lorentz e igual a
, por isso essa forma aparece sempre.)
Passo 7
Resposta para a letra (b): caso do fóton.
- Para um fóton a massa de repouso é nula:
. - Substituindo
na expressão final da letra (a) obtém-se
Como usualmente tomamos
como módulo do momento para a energia, isso dá a forma simples
(Isto coincide com a relação bem conhecida para fótons:
.)
Resposta
(a)
(b)
(b)