( 1,0 ponto) Questão 1 - Quando um múon é observado em repouso, sua vida média é 2,2 \times 10^{-6} \mathrm{~s}. Considere um múon movendo-se com velocidade v=1,8 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s} em relação ao laboratório. Qual é a vida média desse múon, medida no laboratório?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Vida média do múon quando está em repouso (própria): \tau = 2,2\times10^{-6}\\ \mathrm{s}.
  • Velocidade do múon em relação ao laboratório: v = 1,8\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
  • Constante (velocidade da luz) que será usada: c \approx 3,0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
O que é pedido:
  • Determinar a vida média do múon medida no laboratório (ou seja, a vida média dilatada observada por um observador no laboratório).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática e passo a passo).
  • Quando um intervalo de tempo é medido no próprio referencial do objeto (aqui, o múon em repouso), esse intervalo chama-se tempo próprio e eu o denotei por \tau.
  • Um observador em relação ao qual o objeto está em movimento mede um tempo dilatado t maior que \tau. A relação entre esses tempos é dada pelo fator de Lorentz \gamma:
t = \gamma\,\tau.
  • O fator de Lorentz \gamma depende da velocidade relativa v e da velocidade da luz c e é dado por
\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.
  • Explicando as variáveis:
    • \tau é a vida média no referencial do múon (tempo próprio).
    • t é a vida média medida no laboratório (tempo dilatado).
    • v é a velocidade do múon relativa ao laboratório.
    • c é a velocidade da luz no vácuo.
  • Em palavras: quanto mais rápido o múon se move (mais próximo de c), maior será \gamma e maior o tempo t observado no laboratório.

Passo 3

Calcular passo a passo a razão \dfrac{v}{c} e o fator \gamma.
  • Primeiro a razão \beta = \dfrac{v}{c}:
\beta = \dfrac{v}{c} = \dfrac{1,8\times10^{8}}{3,0\times10^{8}} = 0,6.
  • Agora calcular 1-\beta^{2}:
1-\beta^{2} = 1 - (0,6)^{2} = 1 - 0,36 = 0,64.
  • A raiz quadrada:
\sqrt{1-\beta^{2}} = \sqrt{0,64} = 0,8.
  • Finalmente o fator de Lorentz \gamma:
\gamma = \dfrac{1}{0,8} = 1,25.

Passo 4

Calcular a vida média medida no laboratório usando t=\gamma\,\tau.
  • Substituindo os valores:
t = \gamma\,\tau = 1,25 \times 2,2\times10^{-6}\\ \mathrm{s}.
  • Multiplicando:
1,25 \times 2,2 = 2,75,
portanto
t = 2,75\times10^{-6}\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Interpretação e dica para a prova (curta e prática).
  • Resultado: o múon vive mais tempo quando visto do laboratório: de 2,2\times10^{-6}\\ \mathrm{s} (próprio) para 2,75\times10^{-6}\\ \mathrm{s} (laboratório).
  • Dica rápida para a prova: calcule primeiro \beta=v/c, verifique se resulta em número simples (como 0,6 aqui), isso facilita \gamma. Sempre escreva \gamma=1/\sqrt{1-\beta^{2}} e depois multiplique por \tau.

Resposta

2,75\times10^{-6}\\ \mathrm{s}

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