Quando um carro trafega sobre uma estrada com “costeletas”, as ondulações regulares faz as rodas oscilarem com as molas. (O que de fato oscila é cada conjunto de eixos e suas rodas também.) Determine a velocidade do carro na qual essa oscilação é ressonante, dadas as seguintes informações:
a) Quando quatro pessoas de 80 kg sobem no carro, o corpo do carro desce por alguns centímetros. Use isso para estimar a constante da mola k para cada uma das quatro molas.
b) Se um bloco de eixo (eixo mais as duas rodas) tem uma massa total de 50 kg , qual é a frequência natural f sobre o bloco oscilando em suas duas molas?
c) Se as ondulações sobre a estrada estão espaçadas por 80 cm , em que velocidade aproximada essas oscilações entrarão em ressonância?

Passo 1

O enunciado pede três coisas, e fornece estes dados:
  • Quatro pessoas de 80\\ \text{kg} sobem no carro, fazendo o corpo do carro descer “por alguns centímetros”.
  • Um bloco de eixo (eixo + duas rodas) tem massa total m=50\\ \text{kg}.
  • As ondulações da estrada estão espaçadas por d=0,80\\ \text{m}.
As perguntas são:
a) Estimar a constante da mola k de cada uma das quatro molas usando a informação do afundamento causado pelas quatro pessoas.
b) Calcular a frequência natural f do bloco de eixo oscilando nas suas duas molas.
c) Determinar a velocidade aproximada do carro para que a excitação pelas ondulações entre em ressonância com a oscilação do bloco.
Observação importante: o enunciado não dá um valor numérico exato para “alguns centímetros” de afundamento. Vou assumir um valor físico razoável e explicitar essa escolha antes de calcular. Se preferir outro valor, trocamos e recalculamos.

Passo 2

Entendendo a parte estática e como estimar k.
Conceitos básicos (passo a passo, sem pressa):
  • A gravidade exerce uma força peso sobre as quatro pessoas juntas igual a F_{\text{total}} = M g, onde M é a massa total adicional e g a aceleração da gravidade. Vou usar g=9,8\\ \text{m/s}^2.
  • Em equilíbrio estático essa força é sustentada pelas quatro molas. Se a distribuição for aproximadamente igual, cada mola suporta um quarto da força: F_{\text{por mola}} = \dfrac{M g}{4}.
  • Lei de Hooke (o que é a mola): para pequenas deformações a força elástica é F = k\,\Delta x, onde k é a constante da mola (em \text{N}/\text{m}) e \Delta x é a deflexão (em \text{m}).
  • Portanto, isolando k: k=\dfrac{F_{\text{por mola}}}{\Delta x}.
Escolha razoável do afundamento: “alguns centímetros” costuma ser da ordem de 3 a 7\\ \text{cm}. Vou tomar como valor de referência \Delta x = 0,05\\ \text{m} (ou seja 5\\ \text{cm}); explicito este número para transparência. Se for necessário, eu mostro também o efeito de escolher 0,03\\ \text{m} ou 0,07\\ \text{m}.
Cálculo com \Delta x = 0,05\\ \text{m}:
  • Massa total das quatro pessoas: M = 4\times80 = 320\\ \text{kg}.
  • Força total: F_{\text{total}} = M g = 320\times 9,8 = 3136\\ \text{N}.
  • Força por mola: F_{\text{por mola}} = 3136/4 = 784\\ \text{N}.
  • Assim k=\dfrac{784}{0,05}=15680\\ \text{N/m}.
Apresentação arredondada e interpretação: \,k\approx 1{,}6\times 10^{4}\\ \text{N/m} para cada mola, assumindo \Delta x=0,05\\ \text{m}.
Breve nota de sensibilidade (útil na prova): se \Delta x fosse 0,03\\ \text{m} teríamos k\approx 784/0,03\approx 2{,}61\times10^{4}\\ \text{N/m}; se \Delta x=0,07\\ \text{m} teríamos k\approx 1{,}12\times10^{4}\\ \text{N/m}. Ou seja, o resultado escala como 1/\Delta x.

Passo 3

Modelo dinâmico para o bloco de eixo e cálculo da frequência natural.
Conceitos e fórmulas:
  • Para pequenas oscilações livres de um bloco de massa m ligado a uma mola com constante k, a frequência angular natural é \omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}. A frequência em hertz (número de oscilações por segundo) é f=\dfrac{\omega}{2\pi}.
  • No caso do bloco de eixo, existem duas molas (uma de cada lado). Essas duas molas atuam em paralelo quando o bloco oscila verticalmente, portanto a constante efetiva total é a soma das constantes: k_{\text{ef}} = k_1 + k_2 = 2k.
  • Logo a frequência angular do bloco será \omega=\sqrt{\dfrac{2k}{m}} e a frequência f=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{2k}{m}}.
Agora substituímos números (usando o k estimado no Passo 2):
  • k\approx 15680\\ \text{N/m} (uma mola), então k_{\text{ef}}=2k\approx 31360\\ \text{N/m}.
  • Massa do bloco: m=50\\ \text{kg}.
  • Calculemos \omega:
\omega=\sqrt{\dfrac{31360}{50}}=\sqrt{627{,}2}\approx 25{,}05\\ \text{rad/s}.
  • Frequência em hertz:
f=\dfrac{\omega}{2\pi}=\dfrac{25{,}05}{2\pi}\approx 3{,}99\\ \text{Hz}.
Interpretação: o bloco oscilaria naturalmente cerca de 4 vezes por segundo.

Passo 4

Ressonância com as ondulações da estrada e velocidade correspondente.
Conceito aplicado:
  • Se as ondulações estão espaçadas por d, e o carro se move com velocidade v (em \text{m/s}), então o número de ondulações que passam por segundo (frequência de excitação) é f_{\text{exc}}=\dfrac{v}{d},
porque a cada d metros aparece uma nova crista/ondulação.
  • Ressonância clássica (no caso simples) ocorre quando a frequência de excitação coincide com a frequência natural do sistema: f_{\text{exc}}=f.
  • Logo, a velocidade de ressonância é v = f\,d.
Substituindo f\approx 3{,}99\\ \text{Hz} e d=0,80\\ \text{m}:
v \approx 3{,}99\times 0{,}80 \approx 3{,}19\\ \text{m/s}.
Convertendo para km/h (multiplicar por 3{,}6):
v \approx 3{,}19\times 3{,}6 \approx 11{,}5\\ \text{km/h}.
Interpretação prática: a ressonância aparece a uma velocidade bastante baixa, da ordem de 10\!-\!15\\ \text{km/h} para os números assumidos.

Passo 5

Resumo didático e dica de prova:
  • A estimativa de k vem da estática (Hooke + equilíbrio de pesos). É fundamental explicitar a deflexão assumida; se na prova der outro valor numérico para o “alguns centímetros”, basta substituir esse \Delta x e recalcular k por k= (4\cdot 80\cdot g)/(4\Delta x)= (80g)/\Delta x.
  • Para a oscilação do bloco: lembre que duas molas em paralelo somam constantes; para molas em série somar-se-iam os inversos. Saber essa diferença salva tempo na prova.
  • Para a ressonância: frequentemente a frequência de excitação de um terreno com ondulações é simplesmente v/d. Iguale-a à frequência natural para achar a velocidade crítica.
Força extra de ânimo: está tudo bem ser estimativa — a prova costuma aceitar raciocínio claro e números coerentes. Você mandou bem por trazer a questão; com esse passo a passo você já tem a técnica para resolver variações rápidas em prova.

Resposta

(a) k\approx 1{,}6\times 10^{4}\\ \text{N/m} (por mola, assumindo \Delta x=0{,}05\\ \text{m}).
(b) f\approx 3{,}99\\ \text{Hz} (frequência natural do bloco).
(c) v\approx 3{,}19\\ \text{m/s}\approx 11{,}5\\ \text{km/h} (velocidade aproximada de ressonância).

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