Quando um carro trafega sobre uma estrada com “costeletas”, as ondulações regulares faz as rodas oscilarem com as molas. (O que de fato oscila é cada conjunto de eixos e suas rodas também.) Determine a velocidade do carro na qual essa oscilação é ressonante, dadas as seguintes informações:
a) Quando quatro pessoas de 80 kg sobem no carro, o corpo do carro desce por alguns centímetros. Use isso para estimar a constante da mola k para cada uma das quatro molas.
b) Se um bloco de eixo (eixo mais as duas rodas) tem uma massa total de 50 kg , qual é a frequência natural f sobre o bloco oscilando em suas duas molas?
c) Se as ondulações sobre a estrada estão espaçadas por 80 cm , em que velocidade aproximada essas oscilações entrarão em ressonância?
a) Quando quatro pessoas de 80 kg sobem no carro, o corpo do carro desce por alguns centímetros. Use isso para estimar a constante da mola k para cada uma das quatro molas.
b) Se um bloco de eixo (eixo mais as duas rodas) tem uma massa total de 50 kg , qual é a frequência natural f sobre o bloco oscilando em suas duas molas?
c) Se as ondulações sobre a estrada estão espaçadas por 80 cm , em que velocidade aproximada essas oscilações entrarão em ressonância?
Passo 1
O enunciado pede três coisas, e fornece estes dados:
- Quatro pessoas de
sobem no carro, fazendo o corpo do carro descer “por alguns centímetros”. - Um bloco de eixo (eixo + duas rodas) tem massa total
. - As ondulações da estrada estão espaçadas por
.
As perguntas são:
a) Estimar a constante da mola de cada uma das quatro molas usando a informação do afundamento causado pelas quatro pessoas.
b) Calcular a frequência natural do bloco de eixo oscilando nas suas duas molas.
c) Determinar a velocidade aproximada do carro para que a excitação pelas ondulações entre em ressonância com a oscilação do bloco.
a) Estimar a constante da mola
b) Calcular a frequência natural
c) Determinar a velocidade aproximada do carro para que a excitação pelas ondulações entre em ressonância com a oscilação do bloco.
Observação importante: o enunciado não dá um valor numérico exato para “alguns centímetros” de afundamento. Vou assumir um valor físico razoável e explicitar essa escolha antes de calcular. Se preferir outro valor, trocamos e recalculamos.
Passo 2
Entendendo a parte estática e como estimar
.
Conceitos básicos (passo a passo, sem pressa):
- A gravidade exerce uma força peso sobre as quatro pessoas juntas igual a
, onde é a massa total adicional e a aceleração da gravidade. Vou usar . - Em equilíbrio estático essa força é sustentada pelas quatro molas. Se a distribuição for aproximadamente igual, cada mola suporta um quarto da força:
. - Lei de Hooke (o que é a mola): para pequenas deformações a força elástica é
, onde é a constante da mola (em ) e é a deflexão (em ). - Portanto, isolando
:
Escolha razoável do afundamento: “alguns centímetros” costuma ser da ordem de
a
. Vou tomar como valor de referência
(ou seja
); explicito este número para transparência. Se for necessário, eu mostro também o efeito de escolher
ou
.
Cálculo com
:
- Massa total das quatro pessoas:
. - Força total:
. - Força por mola:
. - Assim
Apresentação arredondada e interpretação:
para cada mola, assumindo
.
Breve nota de sensibilidade (útil na prova): se
fosse
teríamos
; se
teríamos
. Ou seja, o resultado escala como
.
Passo 3
Modelo dinâmico para o bloco de eixo e cálculo da frequência natural.
Conceitos e fórmulas:
- Para pequenas oscilações livres de um bloco de massa
ligado a uma mola com constante , a frequência angular natural é . A frequência em hertz (número de oscilações por segundo) é . - No caso do bloco de eixo, existem duas molas (uma de cada lado). Essas duas molas atuam em paralelo quando o bloco oscila verticalmente, portanto a constante efetiva total é a soma das constantes:
- Logo a frequência angular do bloco será
e a frequência .
Agora substituímos números (usando o
estimado no Passo 2):
-
(uma mola), então . - Massa do bloco:
. - Calculemos
:
- Frequência em hertz:
Interpretação: o bloco oscilaria naturalmente cerca de
vezes por segundo.
Passo 4
Ressonância com as ondulações da estrada e velocidade correspondente.
Conceito aplicado:
- Se as ondulações estão espaçadas por
, e o carro se move com velocidade (em ), então o número de ondulações que passam por segundo (frequência de excitação) é
porque a cada
metros aparece uma nova crista/ondulação.
- Ressonância clássica (no caso simples) ocorre quando a frequência de excitação coincide com a frequência natural do sistema:
. - Logo, a velocidade de ressonância é
Substituindo
e
:
Convertendo para km/h (multiplicar por
):
Interpretação prática: a ressonância aparece a uma velocidade bastante baixa, da ordem de
para os números assumidos.
Passo 5
Resumo didático e dica de prova:
- A estimativa de
vem da estática (Hooke + equilíbrio de pesos). É fundamental explicitar a deflexão assumida; se na prova der outro valor numérico para o “alguns centímetros”, basta substituir esse e recalcular por . - Para a oscilação do bloco: lembre que duas molas em paralelo somam constantes; para molas em série somar-se-iam os inversos. Saber essa diferença salva tempo na prova.
- Para a ressonância: frequentemente a frequência de excitação de um terreno com ondulações é simplesmente
. Iguale-a à frequência natural para achar a velocidade crítica.
Força extra de ânimo: está tudo bem ser estimativa — a prova costuma aceitar raciocínio claro e números coerentes. Você mandou bem por trazer a questão; com esse passo a passo você já tem a técnica para resolver variações rápidas em prova.
Resposta
(a)
(por mola, assumindo
).
(b) (frequência natural do bloco).
(c) (velocidade aproximada de ressonância).
(b)
(c)