Idéia física e matemática (passo a passo, sem pular): para encontrar as frequências naturais procuramos soluções harmônicas do tipo oscilatório. Ou seja, tentamos um ansatz do tipo
\binom{x_{1}}{x_{2}}=\mathbf{v}\,e^{i\omega t},
onde \mathbf{v} é um vetor constante (modo próprio) e \omega é a frequência angular da oscilação. Substituindo essa forma na equação de movimento obtemos:
Isto significa que \dfrac{\omega^{2}}{\omega_{0}^{2}} deve ser um autovalor (autovalor = eigenvalue) da matriz A. Em outras palavras, se \lambda é um autovalor de A, então
\omega^{2}=\omega_{0}^{2}\lambda
e portanto
\omega=\omega_{0}\sqrt{\lambda}.
Então o problema reduz-se a encontrar os autovalores \lambda da matriz A.