As equações de movimento de um sistema de duas partículas acopladas são escritas em forma matricial como
\frac{d^{2}}{d t^{2}}\binom{x_{1}}{x_{2}}=-\omega_{0}^{2}\left(\begin{array}{cc} 5 / 2 & -3 / 2 \\\\ -2 & 2 \end{array}\right)\binom{x_{1}}{x_{2}}
Quais são as frequências naturais do sistema?

Passo 1

O enunciado nos dá a equação matricial de movimento
\frac{d^{2}}{d t^{2}}\binom{x_{1}}{x_{2}}=-\omega_{0}^{2}\left(\begin{array}{cc} 5/2 & -3/2\\\\ -2 & 2 \end{array}\right)\binom{x_{1}}{x_{2}}
As perguntas são: quais são as frequências naturais do sistema?
Informações relevantes fornecidas:
  • A constante \omega_{0} aparece como fator na equação (é um parâmetro do problema).
  • A matriz de acoplamento (vou chamá-la de A) é
A=\begin{pmatrix}5/2 & -3/2\\[4pt]-2 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 2

Idéia física e matemática (passo a passo, sem pular): para encontrar as frequências naturais procuramos soluções harmônicas do tipo oscilatório. Ou seja, tentamos um ansatz do tipo
\binom{x_{1}}{x_{2}}=\mathbf{v}\,e^{i\omega t},
onde \mathbf{v} é um vetor constante (modo próprio) e \omega é a frequência angular da oscilação. Substituindo essa forma na equação de movimento obtemos:
-\omega^{2}\mathbf{v}=-\omega_{0}^{2}A\mathbf{v}.
Cancelando o sinal menos e reorganizando vem
A\mathbf{v}=\frac{\omega^{2}}{\omega_{0}^{2}}\mathbf{v}.
Isto significa que \dfrac{\omega^{2}}{\omega_{0}^{2}} deve ser um autovalor (autovalor = eigenvalue) da matriz A. Em outras palavras, se \lambda é um autovalor de A, então
\omega^{2}=\omega_{0}^{2}\lambda
e portanto
\omega=\omega_{0}\sqrt{\lambda}.
Então o problema reduz-se a encontrar os autovalores \lambda da matriz A.

Passo 3

Vamos calcular os autovalores de
A=\begin{pmatrix}5/2 & -3/2\\[4pt]-2 & 2\end{pmatrix}.
Os autovalores \lambda satisfazem
\det(A-\lambda I)=0.
Escrevendo o determinante:
\det\!\begin{pmatrix}5/2-\lambda & -3/2\\[4pt]-2 & 2-\lambda\end{pmatrix}=(5/2-\lambda)(2-\lambda)-\bigl(-3/2\bigr)(-2).]

Passo 4

Vamos desenvolver o determinante passo a passo:
(5/2-\lambda)(2-\lambda)=\frac{5}{2}\cdot 2 -\frac{5}{2}\lambda -2\lambda +\lambda^{2}=5-\frac{9}{2}\lambda+\lambda^{2}.
O outro termo é
\bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr)(-2)=3.
Subtraindo esse termo do produto anterior (conforme a fórmula do determinante) obtemos o polinômio característico
\lambda^{2}-\frac{9}{2}\lambda+5-3=\lambda^{2}-\frac{9}{2}\lambda+2.
Logo a equação característica é
\lambda^{2}-\frac{9}{2}\lambda+2=0.

Passo 5

Resolvendo a quadrática. Podemos usar a fórmula de Bhaskara; primeiro calcule o discriminante:
\Delta=\Bigl(\frac{9}{2}\Bigr)^{2}-4\cdot 1\cdot 2=\frac{81}{4}-8=\frac{81-32}{4}=\frac{49}{4}.
Portanto \sqrt{\Delta}=\dfrac{7}{2}. As raízes são
\lambda=\frac{\tfrac{9}{2}\pm \tfrac{7}{2}}{2}=\frac{9\pm 7}{4}.
Isto dá dois autovalores:
\lambda_{1}=\frac{9+7}{4}=\frac{16}{4}=4, \qquad \lambda_{2}=\frac{9-7}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.

Passo 6

Agora relacionamos esses autovalores com as frequências, usando \omega=\omega_{0}\sqrt{\lambda}:
\omega_{1}=\omega_{0}\sqrt{4}=2\,\omega_{0}, \qquad \omega_{2}=\omega_{0}\sqrt{\tfrac{1}{2}}=\frac{\omega_{0}}{\sqrt{2}}\approx 0{,}7071\,\omega_{0}.
Ambas são positivas (o que indica oscilações estáveis), e estas são as duas frequências naturais do sistema.

Resposta

\omega=2\omega_{0}
\omega=\dfrac{\omega_{0}}{\sqrt{2}}

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