( 0,5 ponto) Resolva a seguinte equação diferencial de variáveis separáveis:
\frac{d y}{d x}=x e^{x^{2}}, \quad y(0)=2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial:
\frac{d y}{d x}=x e^{x^{2}},\qquad y(0)=2.
Pede para encontrar a função y(x) que satisfaz a igualdade para todo x (no intervalo considerado) e que passa pelo ponto indicado pela condição inicial.

Passo 2

Isolamos os diferenciais para separar as variáveis. Escrever a equação na forma diferencial facilita a integração:
dy = x e^{x^{2}}\,dx.
Isto significa que podemos integrar ambos os lados com respeito às suas variáveis:
\int dy = \int x e^{x^{2}}\,dx.

Passo 3

A integral do lado esquerdo é direta:
\int dy = y + C_1,
onde C_1 é uma constante de integração. No lado direito precisamos calcular \int x e^{x^{2}}\,dx. Para isso usamos a substituição (u-substituição): defina
u = x^{2}.
Então
du = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Substituindo na integral obtemos
\int x e^{x^{2}}\,dx = \int e^{u}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int e^{u}\,du.
A integral de e^{u} é e^{u}, portanto
\int x e^{x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}e^{u} + C_2 = \frac{1}{2}e^{x^{2}} + C_2,
onde C_2 é outra constante de integração. Podemos combinar as constantes vindas dos dois lados em uma única constante C. Assim obtemos a forma geral da solução:
y = \frac{1}{2}e^{x^{2}} + C.

Passo 4

Agora usamos a condição inicial y(0)=2 para determinar C. Substituindo x=0 e y=2 na solução geral:
2 = \frac{1}{2}e^{0} + C.
Como e^{0}=1, vem
2 = \frac{1}{2} + C \quad\Rightarrow\quad C = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}.

Passo 5

Substituindo C=\tfrac{3}{2} na solução geral, a solução particular que satisfaz a condição inicial é
y(x)=\frac{1}{2}e^{x^{2}}+\frac{3}{2}.
Podemos checar rapidamente derivando:
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}\cdot e^{x^{2}}\cdot 2x = x e^{x^{2}},
que coincide com a equação dada. A condição inicial também é satisfeita: y(0)=\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}=2.

Resposta

y(x)=\frac{1}{2}e^{x^{2}}+\frac{3}{2}.

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