( 0,5 ponto) Resolva a seguinte equação diferencial de variáveis separáveis:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial:
Pede para encontrar a função
que satisfaz a igualdade para todo
(no intervalo considerado) e que passa pelo ponto indicado pela condição inicial.
Passo 2
Isolamos os diferenciais para separar as variáveis. Escrever a equação na forma diferencial facilita a integração:
Isto significa que podemos integrar ambos os lados com respeito às suas variáveis:
Passo 3
A integral do lado esquerdo é direta:
onde
é uma constante de integração. No lado direito precisamos calcular
. Para isso usamos a substituição (u-substituição): defina
Então
Substituindo na integral obtemos
A integral de
é
, portanto
onde
é outra constante de integração. Podemos combinar as constantes vindas dos dois lados em uma única constante
. Assim obtemos a forma geral da solução:
Passo 4
Agora usamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
e
na solução geral:
Como
, vem
Passo 5
Substituindo
na solução geral, a solução particular que satisfaz a condição inicial é
Podemos checar rapidamente derivando:
que coincide com a equação dada. A condição inicial também é satisfeita:
.