Use o Teorema de Stokes para calcular
ou
, o que for mais fácil.
é a fronteira do sólido limitado pelo hiperboloide de uma folha
,
apontando para baixo na parte inferior.
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede algo relacionado a elas:
- A função vetorial é
. - O sólido é limitado pelas superfícies:
com a região sendo a porção com (o enunciado disse mas entendemos a fronteira em incluída). -
é a fronteira desse sólido (ou seja, a superfície fechada composta pela casca lateral dada pelo hiperboloide entre e , mais o disco superior em e o disco inferior em ). - Foi especificado que na parte inferior a normal
aponta para baixo. - O pedido: calcular
ou , escolhendo o que for mais fácil.
Passo 2
Vou usar o enunciado de Stokes (aqui explico o que ele diz e o que cada símbolo significa):
- Teorema de Stokes (forma usada):
Onde: -
é o rotacional de . É um campo vetorial que mede a tendência de giro de . -
é o elemento vetorial de área da superfície , com a unidade normal escolhida (a orientação importa para determinar a orientação de ). -
é a fronteira (contorno) de ; é um conjunto de curvas orientadas (pense numa linha fechada ou várias linhas fechadas). -
é o elemento de linha; integrar sobre significa percorrer o contorno com a orientação induzida pela normal de (regra da mão direita).
-
Explicação didática curta: Stokes transforma uma integral de superfície do rotacional em uma integral de linha ao longo do contorno da superfície. É útil quando o contorno é simples ou quando o contorno é vazio.
Passo 3
Identificação da topologia/contorno de
:
- Como dito no Passo 1,
é a fronteira do sólido entre e limitada lateralmente pelo hiperboloide. Portanto é uma superfície fechada composta de três peças: casca lateral , disco superior em e disco inferior em . - Uma superfície que é a fronteira de um sólido é uma superfície fechada e, por definição, não tem contorno: a fronteira de um sólido é uma superfície sem borda. Em notação,
. - Observação sobre orientação: o enunciado especificou que na parte inferior a normal aponta para baixo; isso é coerente com a normal exterior ao sólido. As normas nas demais faces seriam as exteriores ao sólido. Para o Teorema de Stokes não precisamos escolher uma peça isolada com contorno não vazio: estamos com uma superfície fechada inteira, cujo contorno é vazio.
Passo 4
Aplicação direta do Teorema de Stokes ao caso:
- Pelo teorema de Stokes temos
- Mas como
é a fronteira do sólido (superfície fechada), então . A integral de linha sobre conjunto vazio é zero: - Logo
Comentário pedagógico: não precisamos calcular explicitamente
nem parametrizar as três peças da superfície. O fato topológico de
ser fechada já garante o resultado pelo teorema. Isso é um truque muito útil em prova: reconheça quando a superfície é fechada — aí a integral de rotacional sobre ela vale zero automaticamente (desde que
seja bem comportada na região, o que é o caso aqui).
Passo 5
Encorajamento breve: é normal sentir receio de não saber por onde começar — aqui a observação sobre a estrutura da superfície salva muito trabalho. Quando vir uma integral de rotacional sobre a fronteira de um sólido, já acenda o sinal de que provavelmente o contorno é vazio e a resposta será
. Força aí, tá indo bem!