Use o Teorema de Stokes para calcular ∬_{S} \operatorname{rot} \vec{F} \bullet d \vec{S} ou ∫_{C} \vec{F} \bullet d \vec{r}, o que for mais fácil.
S é a fronteira do sólido limitado pelo hiperboloide de uma folha x^{2}+y^{2}-z^{2}=4, z=0, z=2, z<2, \vec{n} apontando para baixo na parte inferior.
\vec{F}(x, y, z)=(2 y-x \cos x) \vec{i}+\sqrt{y^{2}+1} \vec{j}+e^{-z^{2}} \vec{k}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede algo relacionado a elas:
  • A função vetorial é \vec{F}(x,y,z) = (2y - x\cos x)\,\vec{i} + \sqrt{y^{2}+1}\,\vec{j} + e^{-z^{2}}\,\vec{k}.
  • O sólido é limitado pelas superfícies: x^{2}+y^{2}-z^{2}=4,\qquad z=0,\qquad z=2,com a região sendo a porção com 0\le z\le2 (o enunciado disse z<2 mas entendemos a fronteira em z=2 incluída).
  • S é a fronteira desse sólido (ou seja, a superfície fechada composta pela casca lateral dada pelo hiperboloide entre z=0 e z=2, mais o disco superior em z=2 e o disco inferior em z=0).
  • Foi especificado que na parte inferior a normal \vec{n} aponta para baixo.
  • O pedido: calcular \iint_{S} \operatorname{rot}\vec{F}\cdot d\vec{S} ou \oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}, escolhendo o que for mais fácil.

Passo 2

Vou usar o enunciado de Stokes (aqui explico o que ele diz e o que cada símbolo significa):
  • Teorema de Stokes (forma usada): \iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot d\vec{S}=\oint_{\partial S}\vec{F}\cdot d\vec{r}.Onde:
    • \nabla\times\vec{F} é o rotacional de \vec{F}. É um campo vetorial que mede a tendência de giro de \vec{F}.
    • d\vec{S}=\vec{n}\,dS é o elemento vetorial de área da superfície S, com \vec{n} a unidade normal escolhida (a orientação importa para determinar a orientação de \partial S).
    • \partial S é a fronteira (contorno) de S; é um conjunto de curvas orientadas (pense numa linha fechada ou várias linhas fechadas).
    • \vec{F}\cdot d\vec{r} é o elemento de linha; integrar sobre \partial S significa percorrer o contorno com a orientação induzida pela normal de S (regra da mão direita).
Explicação didática curta: Stokes transforma uma integral de superfície do rotacional em uma integral de linha ao longo do contorno da superfície. É útil quando o contorno é simples ou quando o contorno é vazio.

Passo 3

Identificação da topologia/contorno de S:
  • Como dito no Passo 1, S é a fronteira do sólido entre z=0 e z=2 limitada lateralmente pelo hiperboloide. Portanto S é uma superfície fechada composta de três peças: casca lateral S_{\text{lat}}, disco superior S_{\text{sup}} em z=2 e disco inferior S_{\text{inf}} em z=0.
  • Uma superfície que é a fronteira de um sólido é uma superfície fechada e, por definição, não tem contorno: a fronteira de um sólido é uma superfície sem borda. Em notação, \partial S=\varnothing.
  • Observação sobre orientação: o enunciado especificou que na parte inferior a normal aponta para baixo; isso é coerente com a normal exterior ao sólido. As normas nas demais faces seriam as exteriores ao sólido. Para o Teorema de Stokes não precisamos escolher uma peça isolada com contorno não vazio: estamos com uma superfície fechada inteira, cujo contorno é vazio.

Passo 4

Aplicação direta do Teorema de Stokes ao caso:
  • Pelo teorema de Stokes temos \iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot d\vec{S}=\oint_{\partial S}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
  • Mas como S é a fronteira do sólido (superfície fechada), então \partial S=\varnothing. A integral de linha sobre conjunto vazio é zero: \oint_{\partial S}\vec{F}\cdot d\vec{r}=0.
  • Logo \iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot d\vec{S}=0.
Comentário pedagógico: não precisamos calcular explicitamente \nabla\times\vec{F} nem parametrizar as três peças da superfície. O fato topológico de S ser fechada já garante o resultado pelo teorema. Isso é um truque muito útil em prova: reconheça quando a superfície é fechada — aí a integral de rotacional sobre ela vale zero automaticamente (desde que \vec F seja bem comportada na região, o que é o caso aqui).

Passo 5

Encorajamento breve: é normal sentir receio de não saber por onde começar — aqui a observação sobre a estrutura da superfície salva muito trabalho. Quando vir uma integral de rotacional sobre a fronteira de um sólido, já acenda o sinal de que provavelmente o contorno é vazio e a resposta será 0. Força aí, tá indo bem!

Resposta

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