3.4B Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=1^infty (-1)^n 2^n x^n(n+1)^3

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^infty(-1)^n2^nx^n(n+1)^3
O conteúdo é convergência de séries de potências e usaremos o teste da razão para encontrar o raio de convergência, depois examinaremos os extremos.

Passo 2

Definimos o termo geral
an=(-1)^n2^n(n+1)^3,
e aplicamos o teste da razão em módulo:
L=limntoinfty|an+1,x^n+1an,x^n| =limntoinfty|(-1)^n+12^n+1(n+2)^3cdot(n+1)^3(-1)^n2^n;x| =limntoinfty2,|x|;(n+1)^3(n+2)^3

Passo 3

Como
limntoinfty(n+1)^3(n+2)^3=1,
segue
L=2,|x|
O teste da razão diz que converge se L<1, ou seja
2,|x|<1Longrightarrow |x|<tfrac12
Logo o raio de convergência é R=tfrac12 e a série converge para -tfrac12<x<tfrac12.

Passo 4

Agora verificamos os extremos. Para x=+tfrac12 o termo geral fica
(-1)^n2^nl(tfrac12r)^n(n+1)^3 =(-1)^n(n+1)^3,
e sumn=1^infty1(n+1)^3 é uma p-série com p=3>1, portanto converge absolutamente. Logo a série converge em x=+tfrac12.

Passo 5

Para x=-tfrac12 temos
(-1)^n2^nl(-tfrac12r)^n(n+1)^3 =(-1)^n(-1)^n(n+1)^3 =1(n+1)^3,
que também é p-série com p=3>1, logo converge. Portanto a série converge em x=-tfrac12.

Resposta

[-tfrac12,tfrac12]

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