3.4B Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de potências:
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
O conteúdo é convergência de séries de potências e usaremos o teste da razão para encontrar o raio de convergência, depois examinaremos os extremos.
Passo 2
Definimos o termo geral
e aplicamos o teste da razão em módulo:
Passo 3
Como
segue
O teste da razão diz que converge se
L<1 , ou seja
Logo o raio de convergência é
R=tfrac12 e a série converge para
-tfrac12<x<tfrac12 .
Passo 4
Agora verificamos os extremos. Para
x=+tfrac12 o termo geral fica
e
sumn=1^infty1(n+1)^3 é uma p-série com
p=3>1 , portanto converge absolutamente. Logo a série converge em
x=+tfrac12 .
Passo 5
Para
x=-tfrac12 temos
que também é p-série com
p=3>1 , logo converge. Portanto a série converge em
x=-tfrac12 .