(a) Calcule .
(b) Calcule a área da região limitada pelo gráfico de e o eixo com .
(c) Compare os resultados e explique o porquê da diferença.
Passo 1
O enunciado apresenta a função no intervalo e pede:
– (a) o valor do integral ;
– (b) a área da região limitada pelo gráfico de e o eixo em ;
– (c) comparar os resultados e explicar a diferença.
Para isso vamos usar antiderivadas para o integral e a definição de área como integral do valor absoluto da função.
Passo 2
Calcular o integral
Uma primitiva de é
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Passo 3
Determinar a área entre o gráfico e o eixo em . Primeiro achamos onde muda de sinal:
Comparando os resultados: integral0^2(x^2-1),dx=tfrac23, enquanto a área total é 2. A diferença vem do fato de que o integral considera a porção onde f(x)<0 como área negativa (ela se subtrai), mas no cálculo de área usamos o valor absoluto, somando todas as áreas positivas.
Resposta
(a) 23
(b) 2
(c) O integral dá área com sinal, cancelando a parte abaixo do eixo; a área geométrica exige o valor absoluto da função, somando tudo como quantidade positiva.