(a) Calcule integral0^2 x^2-1 d x.
(b) Calcule a área da região limitada pelo gráfico de f(x)=x^2-1 e o eixo 0 x com 0 <= x <= 2.
(c) Compare os resultados e explique o porquê da diferença.

Passo 1

O enunciado apresenta a função f(x)=x^2-1 no intervalo [0,2] e pede:
– (a) o valor do integral integral0^2(x^2-1),dx;
– (b) a área da região limitada pelo gráfico de f e o eixo x em 0<= x<=2;
– (c) comparar os resultados e explicar a diferença.
Para isso vamos usar antiderivadas para o integral e a definição de área como integral do valor absoluto da função.

Passo 2

Calcular o integral
integral0^2(x^2-1),dx
Uma primitiva de x^2-1 é
F(x)=x^33-x
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integral0^2(x^2-1),dx =F(2)-F(0) =l(83-2r)-0 =83-63 =23

Passo 3

Determinar a área entre o gráfico e o eixo x em [0,2]. Primeiro achamos onde f(x) muda de sinal:
x^2-1=0implies x=1
Em [0,1] temos f(x)<=0 e em [1,2] temos f(x)>=0. A área é
integral0^1l|x^2-1r|,dx+integral1^2l|x^2-1r|,dx =-integral0^1(x^2-1),dx +integral1^2(x^2-1),dx
Calculamos cada parte:
integral0^1(x^2-1),dx =l[x^33-xr]0^1 =13-1 =-23,
portanto -!integral0^1(x^2-1),dx=+23
integral1^2(x^2-1),dx =l[x^33-xr]1^2 =l(83-2r)-l(13-1r) =8-6-1+33 =43
Somando as áreas temos
23+43 =2

Passo 4

Comparando os resultados:
integral0^2(x^2-1),dx=tfrac23, enquanto a área total é 2. A diferença vem do fato de que o integral considera a porção onde f(x)<0 como área negativa (ela se subtrai), mas no cálculo de área usamos o valor absoluto, somando todas as áreas positivas.

Resposta

(a) 23
(b) 2
(c) O integral dá área com sinal, cancelando a parte abaixo do eixo; a área geométrica exige o valor absoluto da função, somando tudo como quantidade positiva.

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