1. Seja X uma v.a. contínua com modelo exponencial, Seja H(x)=F(x), onde F(x) é a função acumulada de probabilidade de X. Defina a variável Y=H(X). Verifique que Y tem modelo uniforme no intervalo [0,1].

Passo 1

O enunciado diz que X é uma v.a. contínua com distribuição exponencial e função de distribuição acumulada F(x). Definimos a transformação Y = H(X) com H(x)=F(x). O conteúdo aplicado aqui é o teorema da transformação pela função de distribuição (ou probabilidade integral), que garante que se X é contínua e F é estritamente crescente, então Y=F(X) é uniforme em [0,1].

Passo 2

Para verificar isso, vamos calcular a função de distribuição de Y:
F_Y(y)=P\bigl(Y\le y\bigr)=P\bigl(F(X)\le y\bigr).
Como F é monótona crescente, o evento \{F(X)\le y\} equivale a \{X\le F^{-1}(y)\}, onde F^{-1} é a inversa de F.

Passo 3

Para y em [0,1], obtemos
F_Y(y) = P\bigl(X \le F^{-1}(y)\bigr) = F\bigl(F^{-1}(y)\bigr) = y.
Para y<0 temos F_Y(y)=0 e para y>1 temos F_Y(y)=1.

Passo 4

Derivando F_Y(y) em relação a y no intervalo (0,1), vem
f_Y(y)=\frac{d}{dy}F_Y(y)=1,
o que mostra que Y tem densidade constante em [0,1].

Resposta

Y tem distribuição uniforme em [0,1], isto é, Y\sim U(0,1).

Exercícios relacionados