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dos tubos produzidos por certa fábrica são defeituosos. O tempo de vida
de um tubo defeituoso é uma v. a. exponencial com média 0,5 (anos), enquanto o tempo de vida
de um tubo não defeituoso é uma v. a. exponencial com média 2 (anos). Qual é a probabilidade de que um tubo escolhido ao acaso dure
No máximo 4 anos
No máximo 4 anos
Passo 1
O problema diz que temos uma fábrica cujos tubos podem ser defeituosos com probabilidade
ou não defeituosos com probabilidade
.
- Se o tubo for defeituoso, seu tempo de vida
é exponencial com média ano, ou seja, taxa . - Se não for defeituoso, o tempo de vida
é exponencial com média anos, taxa .
Queremos a probabilidade de que um tubo escolhido ao acaso dure no máximoanos.
Passo 2
Lembrando que, para uma variável exponencial de taxa
, a função de sobrevivência é
e a função de distribuição (CDF) é
Passo 3
Usamos a lei da probabilidade total, condicionando se o tubo é defeituoso
ou não
:
Passo 4
Substituindo
,
, e as CDFs exponenciais:
Logo
Passo 5
Bastapara calcular numericamente:
Resposta
A probabilidade de durar no máximo
anos é aproximadamente
.