(
ponto) - Sendo
, a posição de um corpo de massa
em movimento unidimensional, com
e
constantes associadas a esse movimento, (a) encontre as expressões para velocidade e aceleração instantâneas do problema. (b) Considerando que apenas uma única força age sobre o corpo, encontre a expressão desta força e sugira qual sua provável natureza (peso, tração, etc)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a posição de um corpo em movimento unidimensional dada por
. O conteúdo envolve cinemática de movimentos oscilatórios e a segunda lei de Newton. Para resolver, precisaremos calcular a velocidade e a aceleração derivando a posição em relação ao tempo e, depois, relacionar a aceleração com a força aplicada.
Passo 2
Para encontrar a velocidade instantânea, lembramos que velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar
em relação a
:
Passo 3
Calculando a derivada:
Então, a velocidade instantânea é $ \vec{v} = -x_{0} \omega \sin (\omega t) \hat{x} $.
Passo 4
Agora, para encontrar a aceleração instantânea, derivamos a velocidade em relação ao tempo:
Passo 5
Calculando a derivada:
A aceleração instantânea é $ \vec{a} = -x_{0} \omega^{2} \cos (\omega t) \hat{x} $.
Passo 6
No item (b), sabemos que apenas uma força está agindo sobre o corpo. Podemos usar a segunda lei de Newton, que diz que força é igual à massa vezes a aceleração:
Passo 7
Substituindo a aceleração que encontramos:
Portanto, a força que está agindo é $ \vec{F} = -m x_{0} \omega^{2} \cos (\omega t) \hat{x} $.
Resposta
(a) A velocidade instantânea é $ \vec{v} = -x_{0} \omega \sin (\omega t) \hat{x} $ e a aceleração instantânea é $ \vec{a} = -x_{0} \omega^{2} \cos (\omega t) \hat{x} $.
(b) A força que age sobre o corpo é $ \vec{F} = -m x_{0} \omega^{2} \cos (\omega t) \hat{x} $, provavelmente uma força elástica, como a de uma mola.