( 1 , 0 ponto) - Sendo x=x0 cos (omega t) x, a posição de um corpo de massa m em movimento unidimensional, com x0 e omega constantes associadas a esse movimento, (a) encontre as expressões para velocidade e aceleração instantâneas do problema. (b) Considerando que apenas uma única força age sobre o corpo, encontre a expressão desta força e sugira qual sua provável natureza (peso, tração, etc)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a posição de um corpo em movimento unidimensional dada por x = x0 cos (omega t) x. O conteúdo envolve cinemática de movimentos oscilatórios e a segunda lei de Newton. Para resolver, precisaremos calcular a velocidade e a aceleração derivando a posição em relação ao tempo e, depois, relacionar a aceleração com a força aplicada.

Passo 2

Para encontrar a velocidade instantânea, lembramos que velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar x em relação a t:
v = dxdt

Passo 3

Calculando a derivada:
v = ddt ( x0 cos (omega t) x ) = -x0 omega sin (omega t) x
Então, a velocidade instantânea é $ \vec{v} = -x_{0} \omega \sin (\omega t) \hat{x} $.

Passo 4

Agora, para encontrar a aceleração instantânea, derivamos a velocidade em relação ao tempo:
a = dvdt

Passo 5

Calculando a derivada:
a = ddt ( -x0 omega sin (omega t) x ) = -x0 omega^2 cos (omega t) x
A aceleração instantânea é $ \vec{a} = -x_{0} \omega^{2} \cos (\omega t) \hat{x} $.

Passo 6

No item (b), sabemos que apenas uma força está agindo sobre o corpo. Podemos usar a segunda lei de Newton, que diz que força é igual à massa vezes a aceleração:
F = m a

Passo 7

Substituindo a aceleração que encontramos:
F = m (-x0 omega^2 cos (omega t)) x = -m x0 omega^2 cos (omega t) x
Portanto, a força que está agindo é $ \vec{F} = -m x_{0} \omega^{2} \cos (\omega t) \hat{x} $.

Resposta

(a) A velocidade instantânea é $ \vec{v} = -x_{0} \omega \sin (\omega t) \hat{x} $ e a aceleração instantânea é $ \vec{a} = -x_{0} \omega^{2} \cos (\omega t) \hat{x} $.
(b) A força que age sobre o corpo é $ \vec{F} = -m x_{0} \omega^{2} \cos (\omega t) \hat{x} $, provavelmente uma força elástica, como a de uma mola.

Exercícios relacionados