(1,0 ponto) - Um bloco de massa
inicialmente em repouso e localizado na altura
inicia seu movimento deslizando para baixo em um plano inclinado de angulação igual a
. A força de atrito experimentada pelo bloco tem coeficiente de atrito cinético de
. Considerando o módulo da aceleração da gravidade como
monte o diagrama de corpo livre e calcule: (a) a aceleração do bloco durante a descida, (b) a distância percorrida no plano inclinado até que o bloco alcance metade da sua altura original, e o tempo necessário para o bloco realizar tal percurso. © O que ocorreria com o tempo obtido no item anterior se a massa do bloco fosse três vezes maior?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um bloco de 10 kg que está parado na altura de 5 metros e começa a deslizar por um plano inclinado de 30 graus. A força de atrito cinético entre o bloco e o plano tem um coeficiente de 0,5. A gente quer descobrir:
a) A aceleração do bloco enquanto ele desce.
b) A distância que o bloco percorre até atingir metade da altura original e o tempo que leva pra isso.
c) O que acontece com esse tempo se a massa do bloco triplicar.
b) A distância que o bloco percorre até atingir metade da altura original e o tempo que leva pra isso.
c) O que acontece com esse tempo se a massa do bloco triplicar.
Pra resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica de planos inclinados, considerando as forças que atuam no bloco, como a gravidade e o atrito.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar nas forças que atuam no bloco enquanto ele desliza pelo plano inclinado. Essas forças são:
- Peso §: A força da gravidade que puxa o bloco para baixo. Ela tem um módulo de $ P = m \times g $, onde $ m $ é a massa e $ g $ é a aceleração da gravidade.
- Normal (N): A força perpendicular ao plano, que equilibra a componente perpendicular do peso.
- Força de Atrito (F_a): A resistência ao movimento causada pelo atrito entre o bloco e o plano. Ela é calculada por $ F_a = \mu_c \times N $, onde $ \mu_c $ é o coeficiente de atrito cinético.
Vamos desenhar o diagrama de corpo livre:
- O peso $ P $ atua verticalmente para baixo.
- A normal $ N $ atua perpendicularmente ao plano.
- A força de atrito $ F_a $ atua paralelamente ao plano, subindo.
Passo 3
Agora, vamos calcular a aceleração do bloco. Primeiro, precisamos decompor o peso em duas componentes:
- Paralela ao plano: $ P_{\parallel} = m \times g \times \sin(\theta) $
- Perpendicular ao plano: $ P_{\perp} = m \times g \times \cos(\theta) $
Onde $ \theta = 30^\circ $.
A força de atrito é:
$ F_a = \mu_c \times N = \mu_c \times P_{\perp} = \mu_c \times m \times g \times \cos(\theta) $
A força resultante que está acelerando o bloco para baixo é a componente paralela do peso menos a força de atrito:
$ F_{resultante} = P_{\parallel} - F_a = m \times g \times \sin(\theta) - \mu_c \times m \times g \times \cos(\theta) $
A aceleração $ a $ é:
$ a = \frac{F_{resultante}}{m} = g \times \sin(\theta) - \mu_c \times g \times \cos(\theta) $
Substituindo os valores:
$ a = 9,8 \times \sin(30^\circ) - 0,5 \times 9,8 \times \cos(30^\circ) $
Calculando:
$ \sin(30^\circ) = 0,5 $
$ \cos(30^\circ) \approx 0,8660 $
Então:
$ a = 9,8 \times 0,5 - 0,5 \times 9,8 \times 0,8660 $
$ a = 4,9 - 4,9 \times 0,8660 $
$ a = 4,9 - 4,239 $
$ a \approx 0,661 , m/s^2 $
Passo 4
Agora, vamos calcular a distância que o bloco percorre até atingir metade da altura original e o tempo necessário para isso.
A altura original é $ H = 5 , m $, então metade é $ \frac{H}{2} = 2,5 , m $.
Primeiro, precisamos relacionar a altura com a distância percorrida no plano inclinado. Usando trigonometria, a altura $ h $ está relacionada à distância $ s $ no plano inclinado por:
$ h = s \times \sin(\theta) $
Queremos $ h = 2,5 , m $, então:
$ 2,5 = s \times \sin(30^\circ) $
$ 2,5 = s \times 0,5 $
$ s = \frac{2,5}{0,5} = 5 , m $
Então, o bloco percorre 5 metros no plano inclinado para atingir metade da altura original.
Agora, para encontrar o tempo $ t $, usamos a equação do movimento uniformemente acelerado:
$ s = \frac{1}{2} a t^2 $
Rearranjando para $ t $:
$ t = \sqrt{\frac{2s}{a}} $
Substituindo os valores:
$ t = \sqrt{\frac{2 \times 5}{0,661}} $
$ t = \sqrt{\frac{10}{0,661}} $
$ t = \sqrt{15,133} $
$ t \approx 3,89 , s $
Passo 5
Por fim, vamos analisar o que acontece com o tempo se a massa do bloco for triplicada, ou seja, $ m’ = 3m $.
Vamos ver como a aceleração muda:
A aceleração $ a $ foi calculada como:
$ a = g \times \sin(\theta) - \mu_c \times g \times \cos(\theta) $
Note que a massa $ m $ não está presente na equação final da aceleração. Isso significa que, independentemente da massa do bloco, a aceleração permanece a mesma.
Logo, mesmo que a massa triplique, a aceleração continua $ a \approx 0,661 , m/s^2 $.
Com a aceleração igual, o tempo para percorrer a mesma distância também permanece o mesmo: aproximadamente 3,89 segundos.
Resposta
a) A aceleração do bloco durante a descida é aproximadamente $ 0,661 , m/s^2 $.