Um sistoma girante é constituido por quatro hastes metálicas conectadas a um carretel. Um fio é parcialmente enrolado no carretel do sistema girante. O mesmo fio passa por duas roldanas e finalmente se conecta a um objeto de massa M=2 kg suspenso a uma altura hi=4 m. Inicialmente o objeto é mantido em repouso. Um esquema dessa configuração é apresentado na figura 1. No sistema girante, quatro objetos de massa m=1 kg são presos nas hastes conectadas ao carretel do sistema girante. Considere que as massas das hastes e do carretel são despreziveis. Considere que o carretel tem um raio r=1 m e as hastes tenham um tamanho L=2 m. Quando o objeto suspenso é liberado ele cai da altura hi=4 m até hf=2 m. Utilize a aceleração gravitacional g=10 m / s^2.
Figura 1: Representação esquemática do sistema girante.
Se, ao invés do sistema girante, tivermos um objeto deslizando sem atrito, qual deve ser sua massa para manter a mesma velocidade de queda?

Passo 1

Beleza, vamos recapitular rapidinho o que está rolando. A gente tem um “sistema girante” com quatro massinhas de 1 kg nas pontas de hastes de 2 m, tudo preso num carretel de raio 1 m. Uma outra massa, ,kg, cai de 4 m até 2 m, enrolando o fio no carretel e botando as hastes pra girar. A ideia é calcular qual seria, num sistema mais simples (uma massa deslizando sem atrito ligada pela mesma corda a ), o valor de que fizesse a massa de 2 kg cair com a MESMA velocidade final que ela tem no caso girante.
Conteúdo: energia e momento de inércia + massa equivalente. Vamos precisar de:
• Cálculo do momento de inércia do conjunto de quatro massas.
• Conceito de “massa equivalente” .
• Conservação de energia: .
• Depois usar a mesma fórmula num bloco de massa em superfície sem atrito: .

Passo 2

Calcular o momento de inércia das quatro massas de 1 kg a 2 m do eixo:
I ;=;sumi=1^4 mi,L^2 ;=;4cdot1cdot(2)^2 ;=;16;kgcdot m^2
A massa equivalente que esse momento equivale na corda é
Mrm eq ;=;Ir^2 ;=;161^2 ;=;16;kg

Passo 3

Agora energia: o bloco de 2 kg cai M g De m. A energia potencial 40 = 9,v^2 Longrightarrow v^2 = 4018 = 209approx4,44 Longrightarrow v approx2,11;m/s vira energia cinética de mais “massa equivalente” :
Isso dá

Passo 4

No sistema com uma massa M g De deslizando sem atrito presa a 2cdot10cdot2 = tfrac12,(2 + m),(4,44) ;Longrightarrow; 40 = 2,22,(2 + m) ;Longrightarrow; 2 + m = 402,22approx18 ;Longrightarrow; m approx16;kg kg, a mesma análise de energia dá
e a gente quer esse igual a . Então

Resposta

A massa deve ser 16 kg para que a massa de 2 kg atinja a mesma velocidade ao cair de 4 m a 2 m.

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